Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial tal que .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais. Precisamos verificar se as condições para que um campo seja conservativo são atendidas e, em caso positivo, determinar a função potencial correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função tal que:
Além disso, uma condição importante para que isso seja verdade é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos verificar essa condição para o nosso campo .

Passo 3

Identificamos que e . Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais:
Isso só acontece se e , mas isso não é verdade para todos os pontos . Portanto, a condição necessária para o campo ser conservativo não é satisfeita em geral.

Resposta

O campo não é conservativo, pois não satisfaz a condição de forma geral.

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Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(e.)
Resolva os probemas de valor abaixo utilizando a transformada de Laplace: .
Expresse como uma composição de duas funções; isto é, encontre e tais que .
©
Resolva para as equações: .
(b.)