Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial tal que .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais. Precisamos verificar se as condições para que um campo seja conservativo são atendidas e, em caso positivo, determinar a função potencial correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função tal que:
Além disso, uma condição importante para que isso seja verdade é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos verificar essa condição para o nosso campo .
Passo 3
Identificamos que e . Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais:
Isso só acontece se e , mas isso não é verdade para todos os pontos . Portanto, a condição necessária para o campo ser conservativo não é satisfeita em geral.
Resposta
O campo não é conservativo, pois não satisfaz a condição de forma geral.