Faça um esboço do sólido, no 1o octante, limitado inferiormente pelo paraboloide
e superiormente pela esfera
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos fazer um esboço de um sólido que está no primeiro octante. Esse sólido é limitado, na parte de baixo, por um paraboloide dado pela equação
, e, na parte de cima, por uma esfera com a equação
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies tridimensionais, como paraboloides e esferas, e como elas se intersectam no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. O paraboloide
é uma superfície que se abre para cima e tem seu vértice na origem. Já a esfera
é uma superfície perfeitamente redonda com raio 2, também centrada na origem.
Passo 3
Para encontrar onde essas duas superfícies se encontram, vamos igualar as equações. Substituindo
da equação do paraboloide na da esfera:
Isso nos ajudará a determinar a curva de interseção entre o paraboloide e a esfera.
Passo 4
Vamos simplificar a equação da interseção. Seja
, então a equação fica:
Rearranjando:
Podemos resolver essa equação quadrática em termos de
:
Como
não pode ser negativo, temos:
Então,
Passo 5
Agora que sabemos o raio
da curva de interseção, podemos determinar os limites para
e
no primeiro octante. No primeiro octante,
,
e
são todos positivos. Portanto,
e
variam de 0 até o valor que satisfaz a equação de interseção.
Passo 6
Para esboçar o sólido, podemos proceder da seguinte forma:
- Desenhe o paraboloide
abrindo para cima. - Desenhe a esfera
centrada na origem. - Identifique a região onde essas duas superfícies se intersectam no primeiro octante.
- O sólido desejado está entre o paraboloide na parte de baixo e a esfera na parte de cima, dentro do primeiro octante.
Resposta
O esboço do sólido no primeiro octante é a região delimitada pela parte do paraboloide
abaixo e pela esfera
acima. Esse sólido está confinado ao primeiro octante, onde
,
e
são positivos, e a interseção das duas superfícies define os limites do sólido.
Exercícios relacionados
Faça um esboço do sólido determinado pelas superfícies:
. Considere o sólido interior a superfície cilíndrica e
.
Faça um esboço do sólido determinado pelas superfícies:
;
sendo
e
.
Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em
, o conjunto de pontos do domínio de
:
;
Esboçar os gráficos de sólidos limitados pelas superfícies dadas: interior ao paraboloide:
e limitado superiormente por
.