Faça um esboço do sólido, no 1o octante, limitado inferiormente pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e superiormente pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos fazer um esboço de um sólido que está no primeiro octante. Esse sólido é limitado, na parte de baixo, por um paraboloide dado pela equação , e, na parte de cima, por uma esfera com a equação . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies tridimensionais, como paraboloides e esferas, e como elas se intersectam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. O paraboloide é uma superfície que se abre para cima e tem seu vértice na origem. Já a esfera é uma superfície perfeitamente redonda com raio 2, também centrada na origem.

Passo 3

Para encontrar onde essas duas superfícies se encontram, vamos igualar as equações. Substituindo da equação do paraboloide na da esfera:
Isso nos ajudará a determinar a curva de interseção entre o paraboloide e a esfera.

Passo 4

Vamos simplificar a equação da interseção. Seja , então a equação fica:
Rearranjando:
Podemos resolver essa equação quadrática em termos de :
Como não pode ser negativo, temos:
Então,

Passo 5

Agora que sabemos o raio da curva de interseção, podemos determinar os limites para e no primeiro octante. No primeiro octante, , e são todos positivos. Portanto, e variam de 0 até o valor que satisfaz a equação de interseção.

Passo 6

Para esboçar o sólido, podemos proceder da seguinte forma:
  1. Desenhe o paraboloide abrindo para cima.
  2. Desenhe a esfera centrada na origem.
  3. Identifique a região onde essas duas superfícies se intersectam no primeiro octante.
  4. O sólido desejado está entre o paraboloide na parte de baixo e a esfera na parte de cima, dentro do primeiro octante.

Resposta

O esboço do sólido no primeiro octante é a região delimitada pela parte do paraboloide abaixo e pela esfera acima. Esse sólido está confinado ao primeiro octante, onde , e são positivos, e a interseção das duas superfícies define os limites do sólido.

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