Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente: sumk=1^infty 1raiz2 k-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série é convergente ou divergente. O Teste da Integral é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas usando integrais. Vamos ver como aplicar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função correspondente à nossa série. A série dada é . Para aplicar o Teste da Integral, precisamos considerar a função .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é positiva, contínua e decrescente para , que são as condições necessárias para usar o Teste da Integral.
  • Positiva: Para , o denominador é positivo, então é positiva.
  • Contínua: A função está definida e não tem quebras ou saltos para .
  • Decrescente: À medida que aumenta, aumenta, então também aumenta, fazendo diminuir.
Como todas as condições são satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral imprópria integral 1raizu cdot du2 = 12 integral u^-1/2 du = 12 cdot ( 2u^1/2 ) + C = u^1/2 + C . Para isso, fazemos uma substituição para facilitar a integração.
Vamos deixar u^1/2 = raiz2x - 1 . Então, ou .
Substituindo na integral:
Voltando para , temos:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite dessa integral quando limb to infty raiz2b - 1 - raiz2(1) - 1 = limb to infty raiz2b - 1 - raiz1 tende ao infinito:
Como vai para o infinito, também vai para o infinito. Portanto, o limite é infinito.

Passo 6

De acordo com o Teste da Integral, se a integral diverge (ou seja, vai para o infinito), então a série também diverge.

Resposta

A série é divergente pelo Teste da Integral.

Exercícios relacionados