Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série é convergente ou divergente. O Teste da Integral é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas usando integrais. Vamos ver como aplicar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função correspondente à nossa série. A série dada é . Para aplicar o Teste da Integral, precisamos considerar a função .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é positiva, contínua e decrescente para , que são as condições necessárias para usar o Teste da Integral.
  • Positiva: Para , o denominador é positivo, então é positiva.
  • Contínua: A função está definida e não tem quebras ou saltos para .
  • Decrescente: À medida que aumenta, aumenta, então também aumenta, fazendo diminuir.
Como todas as condições são satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral imprópria . Para isso, fazemos uma substituição para facilitar a integração.
Vamos deixar . Então, ou .
Substituindo na integral:
Voltando para , temos:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite dessa integral quando tende ao infinito:
Como vai para o infinito, também vai para o infinito. Portanto, o limite é infinito.

Passo 6

De acordo com o Teste da Integral, se a integral diverge (ou seja, vai para o infinito), então a série também diverge.

Resposta

A série é divergente pelo Teste da Integral.

Exercícios relacionados

Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
7.
Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(b)
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
12.
Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(d)