Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série
é convergente ou divergente. O Teste da Integral é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas usando integrais. Vamos ver como aplicar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função correspondente à nossa série. A série dada é
. Para aplicar o Teste da Integral, precisamos considerar a função
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é positiva, contínua e decrescente para
, que são as condições necessárias para usar o Teste da Integral.
- Positiva: Para
, o denominador é positivo, então é positiva. - Contínua: A função está definida e não tem quebras ou saltos para
. - Decrescente: À medida que
aumenta, aumenta, então também aumenta, fazendo diminuir.
Como todas as condições são satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Vamos calcular a integral imprópria
. Para isso, fazemos uma substituição para facilitar a integração.
Vamos deixar
. Então,
ou
.
Substituindo na integral:
Voltando para
, temos:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite dessa integral quando
tende ao infinito:
Como
vai para o infinito,
também vai para o infinito. Portanto, o limite é infinito.
Passo 6
De acordo com o Teste da Integral, se a integral
diverge (ou seja, vai para o infinito), então a série
também diverge.
Resposta
A série
é divergente pelo Teste da Integral.