Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
a) f(t) = (4 - 4t) i + (4 - 4t) j, t in [0, 2]
b) g(t) = 6 sen(t) i + 4 j + 25 cos(t) k, 0 <= t <= 2 pi
c) h(t) = 2i + t^3 j
d) r(t) = 2i + 4j + t k
e) w(t) = t^2 i + t j
f) v(t) = 4i + t j + cos(t) k.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar o hodógrafo da função vetorial para . O hodógrafo é basicamente o gráfico da velocidade do movimento representado pela função vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para encontrar a velocidade e, em seguida, representar esse vetor no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial . A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade do movimento. Então, derivando cada componente:

Passo 3

Agora que temos a derivada , observamos que a velocidade é constante, ou seja, não depende de . Isso significa que o objeto está se movendo com a mesma velocidade em qualquer instante dentro do intervalo .

Passo 4

Como a velocidade é constante e igual a nas direções e , o hodógrafo será um ponto fixo no plano de velocidade. Esse ponto representa a velocidade constante do movimento.

Resposta

O hodógrafo da função vetorial é o ponto no plano de velocidade.

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