Sendo ,
caso seja possível, expanda em uma série de senos no intervalo . Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expandir a função em uma série de senos no intervalo . Isso envolve o estudo de séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a expansão em séries de senos e verificar se a função se encaixa nesse tipo de série no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de senos. Uma série de senos é uma representação de uma função em termos de senos com diferentes frequências e coeficientes. É especialmente útil para funções que são definidas em intervalos onde, nas bordas, a função é zero (condição de Dirichlet).
A série de senos em um intervalo tem a forma:
Onde os coeficientes são calculados por:

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . A função cosseno hiperbólico, , é definida como:
Ela é uma função par, ou seja, . Já as funções seno são ímpares, ou seja, .

Passo 4

Para que seja possível expandir em uma série de senos, a função precisa ser compatível com a expansão em termos de senos, que são funções ímpares. Entretanto, é uma função par e não satisfaz as condições de ser zero nas extremidades do intervalo e (a menos que seja ajustada de alguma forma).

Passo 5

Além disso, a expansão em série de senos geralmente é aplicada a funções que são definidas como zero nas bordas do intervalo, o que não é o caso de . Como não é uma função ímpar e não satisfaz as condições necessárias para uma expansão em série de senos no intervalo dado, não é possível representá-la dessa forma.

Resposta

Não é possível expandir em uma série de senos no intervalo , pois a função é par e não atende aos requisitos necessários para uma expansão em série de senos nesse intervalo.

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