Sendo
,
caso seja possível, expanda
em uma série de senos no intervalo
. Justifique a sua resposta.
caso seja possível, expanda
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expandir a função
em uma série de senos no intervalo
. Isso envolve o estudo de séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a expansão em séries de senos e verificar se a função
se encaixa nesse tipo de série no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de senos. Uma série de senos é uma representação de uma função em termos de senos com diferentes frequências e coeficientes. É especialmente útil para funções que são definidas em intervalos onde, nas bordas, a função é zero (condição de Dirichlet).
A série de senos em um intervalo
tem a forma:
Onde os coeficientes
são calculados por:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. A função cosseno hiperbólico,
, é definida como:
Ela é uma função par, ou seja,
. Já as funções seno são ímpares, ou seja,
.
Passo 4
Para que seja possível expandir
em uma série de senos, a função precisa ser compatível com a expansão em termos de senos, que são funções ímpares. Entretanto,
é uma função par e não satisfaz as condições de ser zero nas extremidades do intervalo
e
(a menos que seja ajustada de alguma forma).
Passo 5
Além disso, a expansão em série de senos geralmente é aplicada a funções que são definidas como zero nas bordas do intervalo, o que não é o caso de
. Como
não é uma função ímpar e não satisfaz as condições necessárias para uma expansão em série de senos no intervalo dado, não é possível representá-la dessa forma.
Resposta
Não é possível expandir
em uma série de senos no intervalo
, pois a função
é par e não atende aos requisitos necessários para uma expansão em série de senos nesse intervalo.
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e
;
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