Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa esboçar o hodógrafo da função vetorial dada:
. Isso envolve trabalhar com vetores e entender o que é um hodógrafo. Para resolver, vamos precisar lembrar como representar funções vetoriais graficamente e o que significa o hodógrafo nessa representação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um hodógrafo. O hodógrafo é basicamente o caminho que o vetor velocidade de um objeto percorre no espaço. Ou seja, se a gente tem uma função vetorial que descreve a velocidade em função do tempo, o hodógrafo mostra como essa velocidade muda conforme o tempo passa, desenhando esse movimento em um gráfico.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função vetorial que foi dada:
. Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y, respectivamente. Isso significa que a componente na direção de x é
e na direção de y é sempre
, já que
não está multiplicado por nenhuma função de t.
Passo 4
Para esboçar o hodógrafo, vamos plotar as componentes de
no plano xy. Ou seja, vamos traçar os pontos
onde
e
. Como
é sempre
, independente do valor de t, isso significa que todos os pontos do hodógrafo estarão na linha horizontal onde y = 1. Já
varia conforme t, criando uma parábola.
Passo 5
Então, juntando tudo, o hodógrafo será uma parábola que se abre para a direita no plano xy, sempre passando pela linha y = 1. Isso porque, conforme t aumenta ou diminui,
aumenta, fazendo com que
fique cada vez maior, enquanto
permanece constante.
Resposta
O hodógrafo da função vetorial
é uma parábola horizontal situada na linha
no plano xy.
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Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o retângulo com vértices
e
;
Encontre o limite ou mostre que não existe.
A posição de uma partícula no plano
, no tempo
, é dada por
.
a) Escrever a função vetorial que descreve o movimento desta partícula.
b) Onde se encontrará a partícula em ?
a) Escrever a função vetorial
b) Onde se encontrará a partícula em