Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa esboçar o hodógrafo da função vetorial dada: . Isso envolve trabalhar com vetores e entender o que é um hodógrafo. Para resolver, vamos precisar lembrar como representar funções vetoriais graficamente e o que significa o hodógrafo nessa representação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um hodógrafo. O hodógrafo é basicamente o caminho que o vetor velocidade de um objeto percorre no espaço. Ou seja, se a gente tem uma função vetorial que descreve a velocidade em função do tempo, o hodógrafo mostra como essa velocidade muda conforme o tempo passa, desenhando esse movimento em um gráfico.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função vetorial que foi dada: . Aqui, e são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y, respectivamente. Isso significa que a componente na direção de x é e na direção de y é sempre , já que não está multiplicado por nenhuma função de t.

Passo 4

Para esboçar o hodógrafo, vamos plotar as componentes de no plano xy. Ou seja, vamos traçar os pontos onde e . Como é sempre , independente do valor de t, isso significa que todos os pontos do hodógrafo estarão na linha horizontal onde y = 1. Já varia conforme t, criando uma parábola.

Passo 5

Então, juntando tudo, o hodógrafo será uma parábola que se abre para a direita no plano xy, sempre passando pela linha y = 1. Isso porque, conforme t aumenta ou diminui, aumenta, fazendo com que fique cada vez maior, enquanto permanece constante.

Resposta

O hodógrafo da função vetorial é uma parábola horizontal situada na linha no plano xy.

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