Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o retângulo com vértices
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular a integral de linha ao longo do retângulo com vértices em
,
,
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha usando o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva
positivamente orientada que delimita uma região
, temos:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Segundo, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Passo 5
Agora, vamos descrever a região
. Como o retângulo tem vértices em
,
,
e
, os limites de integração são:
Passo 6
Vamos montar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de linha é igual a 120.
Exercícios relacionados
Sendo
,
caso seja possível, expanda em uma série de senos no intervalo
. Justifique a sua resposta.
caso seja possível, expanda
Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais: