Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
ointC y^2 d x+x^2 y d y, C é o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,4) e (0,4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular a integral de linha ao longo do retângulo com vértices em (0,0), (5,0), (5,4) e (0,4). O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha usando o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva C positivamente orientada que delimita uma região D, temos:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, P = y^2 e Q = x^2y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
Primeiro, a derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2y) = 2xy
Segundo, a derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y(y^2) = 2y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 2xy - 2y ) dA = integral duplaD 2y(x - 1) , dA

Passo 5

Agora, vamos descrever a região D. Como o retângulo tem vértices em (0,0), (5,0), (5,4) e (0,4), os limites de integração são:
0 <= x <= 5
0 <= y <= 4

Passo 6

Vamos montar a integral dupla:
integral duplaD 2y(x - 1) , dA = integral0^5 integral0^4 2y(x - 1) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^4 2y(x - 1) , dy = 2(x - 1) integral0^4 y , dy = 2(x - 1) [ y^22 ]0^4 = 2(x - 1) ( 162 - 0 ) = 2(x - 1) times 8 = 16(x - 1)

Passo 7

Agora, integramos em relação a x:
integral0^5 16(x - 1) , dx = 16 integral0^5 (x - 1) , dx = 16 [ x^22 - x ]0^5 = 16 ( 252 - 5 - 0 ) = 16 ( 252 - 102 ) = 16 times 152 = 120

Resposta

A integral de linha é igual a 120.

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