Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o retângulo com vértices e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular a integral de linha ao longo do retângulo com vértices em , , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha usando o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva positivamente orientada que delimita uma região , temos:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Segundo, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:

Passo 5

Agora, vamos descrever a região . Como o retângulo tem vértices em , , e , os limites de integração são:

Passo 6

Vamos montar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de linha é igual a 120.

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