Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a trajetória de uma partícula
cujo movimento é descrito pela função vetorial:
Aqui estamos lidando com cinemática vetorial, que estuda como as partículas se movem no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada componente da função vetorial se comporta em relação ao tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial:
- A componente
indica que, no eixo , a posição aumenta linearmente com o tempo. - A componente
mostra que, no eixo , a posição varia de forma sinusoidal. - A componente
é uma constante, ou seja, a partícula mantém sempre a mesma posição no eixo .
Passo 3
Agora, vamos pensar na trajetória no espaço tridimensional. Como
é sempre 2, a partícula está sempre no plano
. Dentro desse plano, a partícula se move conforme as variações de
e
:
- Conforme
aumenta, aumenta linearmente. -
oscila entre 1 e -1 devido à função seno.
Passo 4
Para esboçar a trajetória, imagine um gráfico onde:
- O eixo horizontal representa
. - O eixo vertical representa
. - A profundidade (que não muda) representa
.
À medida que
aumenta, a partícula se move para a direita (aumentando
) e oscila para cima e para baixo no eixo
. Como
não muda, todo esse movimento acontece no mesmo nível de altura.
Passo 5
Visualizando isso, a trajetória da partícula é uma linha reta no eixo
combinada com um movimento oscillatório no eixo
. Isso resulta numa espécie de onda senoidal movendo-se constantemente para a direita no plano
.
Resposta
A trajetória da partícula
é uma onda senoidal que se desloca linearmente no eixo
no plano
. Ou seja, é uma curva ondulada estendendo-se no sentido positivo de
com uma constante altura
.
Exercícios relacionados
Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o retângulo com vértices
e
;
Sendo
,
caso seja possível, expanda em uma série de senos no intervalo
. Justifique a sua resposta.
caso seja possível, expanda
Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
Encontre o limite ou mostre que não existe.