Represente geometricamente a região e, a seguir, calcule o volume do sólido obtido quando é rotacionada em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem que representar a região graficamente e depois calcular o volume do sólido que forma quando essa região é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o método das camadas ou discos para volumes de sólidos de rotação. Vamos precisar entender como montar a integral que representa esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que delimitam a região . Olhando para a integral dada:
Aqui, temos duas funções:
Essas funções representam as curvas que vão delimitar a região no intervalo de até .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa girar a região em torno da reta . Isso cria um sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido, usamos a fórmula dos discos (ou anéis), que envolve subtrair a área do disco interno da área do disco externo em cada fatia do sólido.

Passo 4

A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
Onde:
  • é a distância da reta de rotação até a curva externa.
  • é a distância da reta de rotação até a curva interna.
No nosso caso:
  • A curva externa é
  • A curva interna é

Passo 5

Vamos calcular e . Como estamos girando em torno de :
No entanto, precisamos considerar as posições das curvas em relação à reta de rotação. A distância será a diferença entre a reta de rotação e as funções e .

Passo 6

Na verdade, para cada função, a distância até será:
Essas serão as expressões que usamos na integral para calcular o volume.

Passo 7

Substituindo e na fórmula do volume, temos:
Isso corresponde à integral dada no enunciado.

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral passo a passo:
Expandindo os termos dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:

Passo 9

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos calcular o valor da integral definida de a :
Primeiro, avaliamos em :
Depois, avaliamos em :

Passo 11

Subtraindo os valores:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido é .

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