V=pi integral13^2[(7-3 y2)^2-(1y)^2] d y
Represente geometricamente a região R e, a seguir, calcule o volume do sólido obtido quando R é rotacionada em torno da reta y=3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem que representar a região graficamente e depois calcular o volume do sólido que forma quando essa região é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o método das camadas ou discos para volumes de sólidos de rotação. Vamos precisar entender como montar a integral que representa esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que delimitam a região V = pi integral13^2 [(7 - 3y2)^2 - (1y)^2] dy . Olhando para a integral dada:
Aqui, temos duas funções:
Essas funções representam as curvas que vão delimitar a região no intervalo de até .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa girar a região em torno da reta . Isso cria um sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido, usamos a fórmula dos discos (ou anéis), que envolve subtrair a área do disco interno da área do disco externo em cada fatia do sólido.

Passo 4

A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
V = pi integrala^b [ (R(y))^2 - (r(y))^2 ] dy
Onde:
  • é a distância da reta de rotação até a curva externa.
  • é a distância da reta de rotação até a curva interna.
No nosso caso:
  • A curva externa é
  • A curva interna é

Passo 5

Vamos calcular R(y) = 3 - y e r(y) = 3 - y . Como estamos girando em torno de :
No entanto, precisamos considerar as posições das curvas em relação à reta de rotação. A distância será a diferença entre a reta de rotação e as funções e .

Passo 6

Na verdade, para cada função, a distância até R(y) = 3 - f(y) = 3 - 7 - 3y2 = 6 - 7 + 3y2 = -1 + 3y2 será:
r(y) = 3 - g(y) = 3 - 1y
Essas serão as expressões que usamos na integral para calcular o volume.

Passo 7

Substituindo V = pi integral13^2 [ ( -1 + 3y2 )^2 - ( 1y )^2 ] dy e na fórmula do volume, temos:
Isso corresponde à integral dada no enunciado.

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral passo a passo:
V = pi integral13^2 [ ( 3y -12 )^2 - ( 1y )^2 ] dy
Expandindo os termos dentro da integral:
( 3y -12 )^2 = (3y -1)^24 = 9y^2 -6y +14
( 1y )^2 = 1y^2
Substituindo de volta na integral:
V = pi integral13^2 ( 9y^2 -6y +14 - 1y^2 ) dy

Passo 9

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
9y^2 -6y +14 - 1y^2 = 9y^24 - 6y4 + 14 - 1y^2
= 94y^2 - 32y + 14 - y^-2
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral ( 94y^2 - 32y + 14 - y^-2 ) dy = 94 cdot y^33 - 32 cdot y^22 + 14y - y^-1-1 + C
Simplificando:
= 34y^3 - 34y^2 + 14y + 1y + C

Passo 10

Agora, vamos calcular o valor da integral definida de V = pi [ 34y^3 - 34y^2 + 14y + 1y ]13^2 a 34(2)^3 - 34(2)^2 + 14(2) + 12 = 34 cdot 8 - 34 cdot 4 + 12 + 12 = 6 - 3 + 0.5 + 0.5 = 4 :
34(13)^3 - 34(13)^2 + 14(13) + 113 = 34 cdot 127 - 34 cdot 19 + 112 + 3 = 136 - 112 + 112 + 3 = 136 + 3 = 10936
Primeiro, avaliamos em :
Depois, avaliamos em :

Passo 11

Subtraindo os valores:
V = pi ( 4 - 10936 ) = pi ( 14436 - 10936 ) = pi ( 3536 )
Portanto:
V = 35pi36

Resposta

O volume do sólido é .

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