Represente geometricamente a região
e, a seguir, calcule o volume do sólido obtido quando
é rotacionada em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem que representar a região
graficamente e depois calcular o volume do sólido que forma quando essa região é girada em torno da reta
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o método das camadas ou discos para volumes de sólidos de rotação. Vamos precisar entender como montar a integral que representa esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que delimitam a região
. Olhando para a integral dada:
Aqui, temos duas funções:
Essas funções representam as curvas que vão delimitar a região
no intervalo de
até
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa girar a região
em torno da reta
. Isso cria um sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido, usamos a fórmula dos discos (ou anéis), que envolve subtrair a área do disco interno da área do disco externo em cada fatia do sólido.
Passo 4
A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
Onde:
-
é a distância da reta de rotação até a curva externa. -
é a distância da reta de rotação até a curva interna.
No nosso caso:
- A curva externa é
- A curva interna é
Passo 5
Vamos calcular
e
. Como estamos girando em torno de
:
No entanto, precisamos considerar as posições das curvas em relação à reta de rotação. A distância será a diferença entre a reta de rotação e as funções
e
.
Passo 6
Na verdade, para cada função, a distância até
será:
Essas serão as expressões que usamos na integral para calcular o volume.
Passo 7
Substituindo
e
na fórmula do volume, temos:
Isso corresponde à integral dada no enunciado.
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral passo a passo:
Expandindo os termos dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Passo 9
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos calcular o valor da integral definida de
a
:
Primeiro, avaliamos em
:
Depois, avaliamos em
:
Passo 11
Subtraindo os valores:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido é
.
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