A=integral-raiz22^raiz22(raiz1-x^2-raiz2 x^2) d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida:
A=integral-raiz22^raiz22(raiz1-x^2-raiz2 x^2) d x
Esse problema envolve Cálculo Integral, especificamente a integração de funções que combinam raízes quadradas e polinômios. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de integração de funções polinomiais e trigonométricas, além de usar propriedades de simetria de funções ímpares e pares.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que as funções dentro da integral são funções pares. Isso significa que integral-a^a f(x) dx = 2 integral0^a f(x) dx para todas as funções presentes na integral. Por exemplo, A = 2 integral0^raiz22 ( raiz1 - x^2 - raiz2 x^2 ) dx e são ambas funções pares.
Quando integramos uma função par de a , podemos simplificar a integral da seguinte forma:
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Isso facilita nossos cálculos, pois agora só precisamos integrar de a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
A = 2 ( integral0^raiz22 raiz1 - x^2 , dx - raiz2 integral0^raiz22 x^2 , dx )
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Primeira Integral:
I1 = integral raiz1 - x^2 , dx
Essa é uma integral conhecida que resulta em uma função trigonométrica. A solução é:
I1 = x2 raiz1 - x^2 + 12 arcsin(x) + C
Onde é a constante de integração. Porém, como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração após substituir.

Passo 5

Segunda Integral:
I2 = integral x^2 , dx
Essa é uma integral de um polinômio simples. A solução é:
I2 = x^33 + C
Mais uma vez, vamos aplicar os limites de integração posteriormente.

Passo 6

Agora, vamos calcular I1 = [ x2 raiz1 - x^2 + 12 arcsin(x) ]0^raiz22 e I1 = ( raiz222 raiz1 - (raiz22)^2 + 12 arcsin(raiz22) ) - (0 + 12 arcsin(0)) aplicando os limites de I1 = raiz24 cdot raiz22 + 12 cdot pi4 = 14 + pi8 a I2 = [ x^33 ]0^raiz22 = (raiz22)^33 - 0 = 2^1.524 = raiz212 .
Calculando :
Substituindo os valores:
Simplificando:
Calculando :

Passo 7

Agora, substituímos A = 2 ( ( 14 + pi8 ) - raiz2 cdot raiz212 ) e A = 2 ( 14 + pi8 - 212 ) = 2 ( 14 + pi8 - 16 ) de volta na expressão original para 14 - 16 = 312 - 212 = 112 :
A = 2 ( 112 + pi8 ) = 212 + 2pi8 = 16 + pi4
Simplificando :
Calculando as frações:
Então:

Resposta

A = 16 + pi4

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