Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida:
Esse problema envolve Cálculo Integral, especificamente a integração de funções que combinam raízes quadradas e polinômios. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de integração de funções polinomiais e trigonométricas, além de usar propriedades de simetria de funções ímpares e pares.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que as funções dentro da integral são funções pares. Isso significa que para todas as funções presentes na integral. Por exemplo, e são ambas funções pares.
Quando integramos uma função par de a , podemos simplificar a integral da seguinte forma:
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Isso facilita nossos cálculos, pois agora só precisamos integrar de a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Primeira Integral:
Essa é uma integral conhecida que resulta em uma função trigonométrica. A solução é:
Onde é a constante de integração. Porém, como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração após substituir.

Passo 5

Segunda Integral:
Essa é uma integral de um polinômio simples. A solução é:
Mais uma vez, vamos aplicar os limites de integração posteriormente.

Passo 6

Agora, vamos calcular e aplicando os limites de a .
Calculando :
Substituindo os valores:
Simplificando:
Calculando :

Passo 7

Agora, substituímos e de volta na expressão original para :
Simplificando :
Calculando as frações:
Então:

Resposta

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