Esboçar a região de integração das seguintes integrais:
a)
a)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar a região de integração da integral tripla dada. A matéria aqui envolve integrais múltiplas e, mais precisamente, integrais triplas. Para resolver, vamos analisar os limites de integração que estão fornecidos e como eles definem a região no espaço tridimensional.
Passo 2
A integral é dada por
. Vamos olhar os limites de integração um por um:
- O primeiro limite,
vai de até . Isso nos diz que estamos trabalhando com todos os valores de entre e . - Para cada valor de
, vai de até . Isso significa que à medida que aumenta, o máximo valor de diminui. Para , pode ir até . Para , só pode ser . - Por último,
vai de até . Isso informa que também tem um limite que depende dos valores de e . Quando tanto quanto são , pode ir até . À medida que aumentamos e , o que sobra para vai diminuindo.
Passo 3
Agora, para esboçar essa região, vamos pensar em como ela se parece no espaço. Visualizando isso em 3D, começamos no plano onde
e
estão. A relação
forma um triângulo cujos vértices estão em
,
, e
. Quando consideramos o limite em
, estamos falando sobre a altura da região acima desse triângulo.
Para visualizarmos melhor, vamos desenhar:
- No plano XY, desenhe um triângulo com os vértices mencionados.
- A altura desse triângulo será até
. Isso significa que à medida que você se afasta do eixo , a altura vai diminuindo conforme você se aproxima da linha que une os pontos e .
Resposta
A região de integração é um tetraedro no espaço tridimensional, com uma base triangular sobre o plano
e altura indo do plano até a linha definida por
.