Esboçar a região de integração das seguintes integrais:
a) integral0^1 integral0^1-y integral0^1-x-y d z d x d y

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar a região de integração da integral tripla dada. A matéria aqui envolve integrais múltiplas e, mais precisamente, integrais triplas. Para resolver, vamos analisar os limites de integração que estão fornecidos e como eles definem a região no espaço tridimensional.

Passo 2

A integral é dada por integral0^1 integral0^1-y integral0^1-x-y d z d x d y. Vamos olhar os limites de integração um por um:
  1. O primeiro limite, y vai de 0 até 1. Isso nos diz que estamos trabalhando com todos os valores de y entre 0 e 1.
  2. Para cada valor de y, x vai de 0 até 1-y. Isso significa que à medida que y aumenta, o máximo valor de x diminui. Para y = 0, x pode ir até 1. Para y = 1, x só pode ser 0.
  3. Por último, z vai de 0 até 1-x-y. Isso informa que z também tem um limite que depende dos valores de x e y. Quando tanto x quanto y são 0, z pode ir até 1. À medida que aumentamos x e y, o que sobra para z vai diminuindo.

Passo 3

Agora, para esboçar essa região, vamos pensar em como ela se parece no espaço. Visualizando isso em 3D, começamos no plano onde y e x estão. A relação y <= 1-x forma um triângulo cujos vértices estão em (0,0), (1,0), e (0,1). Quando consideramos o limite em z, estamos falando sobre a altura da região acima desse triângulo.
Para visualizarmos melhor, vamos desenhar:
  1. No plano XY, desenhe um triângulo com os vértices mencionados.
  2. A altura desse triângulo será até z = 1 - x - y. Isso significa que à medida que você se afasta do eixo z = 0, a altura vai diminuindo conforme você se aproxima da linha que une os pontos (1,0) e (0,1).

Resposta

A região de integração é um tetraedro no espaço tridimensional, com uma base triangular sobre o plano xy e altura indo do plano até a linha definida por z = 1 - x - y.

Exercícios relacionados