ointgamma(x-y) d x-x^2 d y, onde gamma é a fronteira da região [0,2] times[0,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ointgamma(x - y) , dx - x^2 , dy, onde gamma é o contorno da região [0,2] times [0,2]. Isso está relacionado ao Cálculo Vetorial, mais especificamente a Integrais de Linha e ao Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla usando o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, P = x - y e Q = -x^2. Nosso objetivo é encontrar a integral dupla correspondente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partial (-x^2)partial x = -2x
E a derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y = partial (x - y)partial y = -1

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, substituímos essas derivadas na fórmula:
ointgamma (x - y) , dx - x^2 , dy = integral duplaD ( -2x - (-1) ) , dA = integral duplaD (-2x + 1) , dA

Passo 5

A região D é o quadrado [0,2] times [0,2]. Vamos configurar a integral dupla sobre essa área:
integral duplaD (-2x + 1) , dA = integral0^2 integral0^2 (-2x + 1) , dx , dy

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a x:
integral0^2 (-2x + 1) , dx = [ -x^2 + x ]0^2 = [ -4 + 2 ] - [0 + 0] = -2

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a y:
integral0^2 (-2) , dy = -2 times (2 - 0) = -4

Resposta

A integral ointgamma(x - y) , dx - x^2 , dy vale -4.

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