, onde
é a fronteira da região
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é o contorno da região
. Isso está relacionado ao Cálculo Vetorial, mais especificamente a Integrais de Linha e ao Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla usando o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui,
e
. Nosso objetivo é encontrar a integral dupla correspondente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green, substituímos essas derivadas na fórmula:
Passo 5
A região
é o quadrado
. Vamos configurar a integral dupla sobre essa área:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral
vale -4.