, onde é a fronteira da região .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o contorno da região . Isso está relacionado ao Cálculo Vetorial, mais especificamente a Integrais de Linha e ao Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla usando o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui, e . Nosso objetivo é encontrar a integral dupla correspondente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, substituímos essas derivadas na fórmula:

Passo 5

A região é o quadrado . Vamos configurar a integral dupla sobre essa área:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A integral vale -4.

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, onde é a elipse .
Esboce a área e calcule a integral em coordenadas polares.
, onde é a fronteira da região limitada por e
A figura mostra uma roda em rotação com raio de 40 cm e uma barra de conexão com comprimento de . O pino desliza para a frente e para trás no eixo à medida que a roda gira em sentido anti-horário a uma taxa de 360 revoluções por minuto.
Expresse a distância em termos de .