, onde é a elipse .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma integral de linha do tipo , onde é a elipse definida por . O conteúdo que vamos utilizar aqui é o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo.

Passo 2

O Teorema de Green afirma que para uma curva fechada que delimita uma região no plano, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre :
Isso significa que, ao invés de calcular a integral ao longo da curva, podemos calcular uma integral sobre a área dentro da curva, o que geralmente é mais simples.

Passo 3

Identificamos e na integral dada:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituímos as derivadas no Teorema de Green:
Portanto, a integral dupla fica:
Agora, precisamos calcular a área da região limitada pela elipse .

Passo 5

A equação da elipse pode ser escrita na forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
Aqui, e , então e . A área de uma elipse é dada por:
Agora, substituímos na integral dupla:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Esboce a área e calcule a integral em coordenadas polares.
Wha carga elétricaé distribuída sobre o retângulo , de modo que a densidade de carga em é . Determine a carga total no retângulo. ( 7 pontos)
, onde é a fronteira da região .
, onde é a fronteira da região limitada por e