ointgamma(e^x-3 y) d x+(e^y+6 x) d y, onde gamma é a elipse x^2+4 y^2=4.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma integral de linha do tipo , onde é a elipse definida por . O conteúdo que vamos utilizar aqui é o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo.

Passo 2

O Teorema de Green afirma que para uma curva fechada ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA que delimita uma região no plano, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre :
Isso significa que, ao invés de calcular a integral ao longo da curva, podemos calcular uma integral sobre a área dentro da curva, o que geralmente é mais simples.

Passo 3

Identificamos P = e^x - 3y e Q = e^y + 6x e partial Qpartial x = partialpartial x(e^y + 6x) = 6 na integral dada:
partial Ppartial y = partialpartial y(e^x - 3y) = -3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituímos as derivadas no Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 6 - (-3) = 9
Portanto, a integral dupla fica:
integral duplaD 9 , dA = 9 integral duplaD dA
Agora, precisamos calcular a área da região limitada pela elipse .

Passo 5

A equação da elipse pode ser escrita na forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
x^24 + y^21 = 1
Aqui, A = pi a b = pi times 2 times 1 = 2pi e 9 times 2pi = 18pi , então e . A área de uma elipse é dada por:
Agora, substituímos na integral dupla:

Resposta

O valor da integral é .

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