, onde
é a elipse
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma integral de linha do tipo
, onde
é a elipse definida por
. O conteúdo que vamos utilizar aqui é o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando o cálculo.
Passo 2
O Teorema de Green afirma que para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre
:
Isso significa que, ao invés de calcular a integral ao longo da curva, podemos calcular uma integral sobre a área dentro da curva, o que geralmente é mais simples.
Passo 3
Identificamos
e
na integral dada:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituímos as derivadas no Teorema de Green:
Portanto, a integral dupla fica:
Agora, precisamos calcular a área da região
limitada pela elipse
.
Passo 5
A equação da elipse pode ser escrita na forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
Aqui,
e
, então
e
. A área
de uma elipse é dada por:
Agora, substituímos na integral dupla:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Esboce a área e calcule a integral em coordenadas polares.
Wha carga elétricaé distribuída sobre o retângulo
, de modo que a densidade de carga em
é
. Determine a carga total no retângulo. ( 7 pontos)