Esboce a área da região do plano cartesiano delimitada pelas desigualdades x^2+y^2 <= 64 e y >= x.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas desigualdades: e . Isso envolve estudar um círculo e uma reta no plano cartesiano. Para resolver, vamos precisar saber como desenhar essas figuras e identificar a área que satisfaz ambas as condições.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a desigualdade . Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio , onde . Então, o raio . Isso significa que desenharemos um círculo com raio 8 unidades ao redor da origem.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda desigualdade: . Essa é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 1, ou seja, faz um ângulo de 45 graus com o eixo . A desigualdade significa que queremos todas as regiões acima ou sobre essa reta.

Passo 4

Para esboçar a área delimitada por ambas as desigualdades, precisamos desenhar o círculo de raio 8 e a reta no mesmo plano cartesiano. A região que nos interessa será a parte do círculo que está acima ou sobre a reta .

Passo 5

Vamos identificar os pontos de interseção entre o círculo e a reta para definir os limites da área. Substituindo x^2 + x^2 = 64 2x^2 = 64 x^2 = 32 x = raiz32 approx 5,66 na equação do círculo:
Portanto, os pontos de interseção são aproximadamente e .

Passo 6

Com esses pontos, sabemos que a região delimitada será uma espécie de “fatia” do círculo que está acima da reta . Para desenhar, trace o círculo com centro na origem e raio 8. Em seguida, desenhe a reta . A área que queremos é a parte do círculo que está acima dessa reta.

Resposta

A área delimitada pelas desigualdades e é a porção do círculo de raio 8, centrado na origem, que está acima ou sobre a reta . No esboço, essa região aparece como uma “fatia” do círculo situada acima da linha diagonal que passa pela origem com inclinação 45 graus.

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