Esboce a área da região do plano cartesiano delimitada pelas desigualdades
e
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas desigualdades:
e
. Isso envolve estudar um círculo e uma reta no plano cartesiano. Para resolver, vamos precisar saber como desenhar essas figuras e identificar a área que satisfaz ambas as condições.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a desigualdade
. Essa é a equação de um círculo com centro na origem
e raio
, onde
. Então, o raio
. Isso significa que desenharemos um círculo com raio 8 unidades ao redor da origem.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda desigualdade:
. Essa é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 1, ou seja, faz um ângulo de 45 graus com o eixo
. A desigualdade
significa que queremos todas as regiões acima ou sobre essa reta.
Passo 4
Para esboçar a área delimitada por ambas as desigualdades, precisamos desenhar o círculo de raio 8 e a reta
no mesmo plano cartesiano. A região que nos interessa será a parte do círculo que está acima ou sobre a reta
.
Passo 5
Vamos identificar os pontos de interseção entre o círculo e a reta para definir os limites da área. Substituindo
na equação do círculo:
Portanto, os pontos de interseção são aproximadamente
e
.
Passo 6
Com esses pontos, sabemos que a região delimitada será uma espécie de “fatia” do círculo que está acima da reta
. Para desenhar, trace o círculo com centro na origem e raio 8. Em seguida, desenhe a reta
. A área que queremos é a parte do círculo que está acima dessa reta.
Resposta
A área delimitada pelas desigualdades
e
é a porção do círculo de raio 8, centrado na origem, que está acima ou sobre a reta
. No esboço, essa região aparece como uma “fatia” do círculo situada acima da linha diagonal que passa pela origem com inclinação 45 graus.