Esboce em cada item o gráfico de uma função f: [1, 5] -> R e tenha as propriedades dadas. Máximo local em 2 e seja contínua, mas não derivável em 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico de uma função que tenha algumas propriedades específicas: deve ter um máximo local em , ser contínua nesse intervalo, mas não pode ser derivável em . Vamos precisar entender conceitos de continuidade, máximo local e derivabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “rupturas” nesse ponto. No nosso caso, queremos que seja contínua no intervalo [1,5], o que significa que o gráfico da função será uma linha sem interrupções nesse intervalo.

Passo 3

Agora, sobre o máximo local. Um máximo local em significa que o valor de é maior que os valores de em pontos bem próximos a 2. Ou seja, se você olhar um pouquinho para a esquerda e para a direita de , o valor em será o mais alto.

Passo 4

Vamos falar sobre não derivabilidade em . Uma função não ser derivável em um ponto geralmente acontece quando há um “canto” ou “pico” no gráfico nesse ponto. Isso significa que a inclinação da função muda abruptamente em , sem uma trajetória suave.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos combinar tudo que entendemos:
  1. A função é contínua em [1,5], então o gráfico será uma linha contínua.
  2. Há um máximo local em , então o ponto (2, ) será o ponto mais alto nessa região.
  3. A função não é derivável em , então haverá um canto ou pico nesse ponto.
Podemos imaginar uma função que sobe até , toca o ponto mais alto lá e depois desce, mas com ângulos angulares em , criando o pico que impede a derivada de existir nesse ponto.

Resposta

O gráfico da função em [1,5] terá um pico em , onde é o ponto mais alto. A função sobe de até de forma suave, atinge o máximo em com um canto (não derivável) e desce de até também de forma suave, mantendo a continuidade em todo o intervalo.

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