Esboce em cada item o gráfico de uma função
e tenha as propriedades dadas. Máximo local em 2 e seja contínua, mas não derivável em 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico de uma função
que tenha algumas propriedades específicas: deve ter um máximo local em
, ser contínua nesse intervalo, mas não pode ser derivável em
. Vamos precisar entender conceitos de continuidade, máximo local e derivabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “rupturas” nesse ponto. No nosso caso, queremos que
seja contínua no intervalo [1,5], o que significa que o gráfico da função será uma linha sem interrupções nesse intervalo.
Passo 3
Agora, sobre o máximo local. Um máximo local em
significa que o valor de
é maior que os valores de
em pontos bem próximos a 2. Ou seja, se você olhar um pouquinho para a esquerda e para a direita de
, o valor em
será o mais alto.
Passo 4
Vamos falar sobre não derivabilidade em
. Uma função não ser derivável em um ponto geralmente acontece quando há um “canto” ou “pico” no gráfico nesse ponto. Isso significa que a inclinação da função muda abruptamente em
, sem uma trajetória suave.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos combinar tudo que entendemos:
- A função é contínua em [1,5], então o gráfico será uma linha contínua.
- Há um máximo local em
, então o ponto (2, ) será o ponto mais alto nessa região. - A função não é derivável em
, então haverá um canto ou pico nesse ponto.
Podemos imaginar uma função que sobe até
, toca o ponto mais alto lá e depois desce, mas com ângulos angulares em
, criando o pico que impede a derivada de existir nesse ponto.
Resposta
O gráfico da função
em [1,5] terá um pico em
, onde
é o ponto mais alto. A função sobe de
até
de forma suave, atinge o máximo em
com um canto (não derivável) e desce de
até
também de forma suave, mantendo a continuidade em todo o intervalo.