Use a definição de limite para provar que: lim x +infty x-1x^2-3 x+2=0.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x +infty x-1x^2-3 x+2=0 usando a definição de limite. O conteúdo envolvido é Cálculo, especificamente o estudo de limites no infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite quando x se aproxima de +infty.

Passo 2

A definição de limite quando x tende a +infty diz que limx to +infty f(x) = L significa que para todo número positivo epsilon, existe um número N tal que para todo x > N, a desigualdade |f(x) - L| < epsilon é verdadeira. No nosso caso, L = 0 e f(x) = x-1x^2-3x+2.

Passo 3

Vamos aplicar a definição: queremos mostrar que para todo epsilon > 0, existe um N tal que se x > N, então |x-1x^2-3x+2| < epsilon.

Passo 4

Primeiro, simplificamos a expressão |x-1x^2-3x+2|. Observamos que para valores grandes de x, o termo de maior grau no denominador domina. Então, podemos aproximar:
|x-1x^2-3x+2| approx |xx^2| = 1x

Passo 5

Queremos que 1x < epsilon. Para isso, resolvemos a desigualdade:
1x < epsilon implies x > 1epsilon

Passo 6

Assim, podemos escolher N = 1epsilon. Portanto, para todo x > N, teremos:
|x-1x^2-3x+2| < epsilon

Resposta

Portanto, pelo critério da definição de limite, lim x +infty x-1x^2-3 x+2=0.

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