Esboce cada uma das parábolas, indicando as coordenadas do foco e a equação da diretriz. (y-3)=10(x-2)^2.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação de uma parábola: . Vamos trabalhar com o conteúdo de geometria analítica, focando nas parábolas. Para resolver isso, a gente precisa identificar o vértice, o foco e a diretriz da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola. A equação está na forma (y - 3) = 10(x - 2)^2 , onde é o vértice. Comparando com a nossa equação:
Vemos que e . Então, o vértice é o ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de , que na nossa equação é . Esse valor nos ajuda a determinar a abertura e a focalidade da parábola. A constante também está relacionada com a distância do vértice ao foco e à diretriz.

Passo 4

Para achar a distância do vértice ao foco, usamos a fórmula:
p = 14a
Substituindo p = 14 times 10 = 140 :

Passo 5

Como a parábola está na forma , ela abre para cima se e para baixo se . No nosso caso, é positivo, então a parábola abre para cima.

Passo 6

Com a distância Foco = (h, k + p) = (2, 3 + 140) = (2, 12140) , podemos encontrar o foco adicionando à coordenada do vértice:

Passo 7

A diretriz é uma reta horizontal que fica a uma distância Diretriz: y = k - p = 3 - 140 = 11940 abaixo do vértice. Então:

Resposta

A parábola tem seu vértice em , o foco em e a diretriz na reta .

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