Esboce as hipérboles abaixo, escrevendo as equações das suas assíntotas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a hipérbole dada pela equação
e encontrar as equações das suas assíntotas. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como identificação do tipo de cônica, manipulação algébrica para converter a equação na forma padrão da hipérbole e, por fim, determinar as assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da hipérbole. A equação original é:
Vamos agrupar os termos de
e os de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
. Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da hipérbole.
Para os termos de
:
Fatoramos o coeficiente de
:
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Para os termos de
:
Fatoramos o coeficiente de
:
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Passo 4
Substituímos esses resultados de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Adicionamos 4 em ambos os lados:
Passo 5
Agora, dividimos toda a equação por 4 para obter a forma padrão da hipérbole:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole vertical:
Onde:
- Centro
-
-
Passo 6
Para encontrar as equações das assíntotas da hipérbole, usamos a fórmula das assíntotas para uma hipérbole vertical:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Distribuindo:
Resposta
As equações das assíntotas da hipérbole são:
e