Esboce as hipérboles abaixo, escrevendo as equações das suas assíntotas. 4 y^2-x^2-24 y+2 x+31=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a hipérbole dada pela equação e encontrar as equações das suas assíntotas. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como identificação do tipo de cônica, manipulação algébrica para converter a equação na forma padrão da hipérbole e, por fim, determinar as assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da hipérbole. A equação original é:
4 y^2 - x^2 - 24 y + 2 x + 31 = 0
Vamos agrupar os termos de 4 y^2 - 24 y - x^2 + 2 x + 31 = 0 e os de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4(y^2 - 6y) e de y^2 - 6y = y^2 - 6y + 9 - 9 = (y - 3)^2 - 9 . Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da hipérbole.
Para os termos de 4(y^2 - 6y) = 4[(y - 3)^2 - 9] = 4(y - 3)^2 - 36:
Fatoramos o coeficiente de -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x):
x^2 - 2x = x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1
Completando o quadrado dentro do parêntese:
-(x^2 - 2x) = -[(x - 1)^2 - 1] = -(x - 1)^2 + 1
Então:
Para os termos de :
Fatoramos o coeficiente de :
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Então:

Passo 4

Substituímos esses resultados de volta na equação original:
4(y - 3)^2 - 36 - (x - 1)^2 + 1 + 31 = 0
Simplificando os termos constantes:
4(y - 3)^2 - (x - 1)^2 - 4 = 0
Adicionamos 4 em ambos os lados:
4(y - 3)^2 - (x - 1)^2 = 4

Passo 5

Agora, dividimos toda a equação por 4 para obter a forma padrão da hipérbole:
(y - 3)^21 - (x - 1)^24 = 1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole vertical:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Onde:
  • Centro

Passo 6

Para encontrar as equações das assíntotas da hipérbole, usamos a fórmula das assíntotas para uma hipérbole vertical:
y = k pm ab(x - h)
Substituindo os valores que encontramos:
y = 3 pm 12(x - 1)
Simplificando:
y = 3 + 12(x - 1) e y = 3 - 12(x - 1)
Distribuindo:
y = 12x + 52 e y = -12x + 72

Resposta

As equações das assíntotas da hipérbole são:
y = 12x + 52
e
y = -12x + 72

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