Verifique se os conjuntos abaixo com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas são espaços vetoriais. Caso não seja, cite ao menos una condição que não é satisfeita.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto
, com as operações de adição definidas por
e multiplicação por escalar definida por
, é um espaço vetorial. Nosso objetivo é checar se todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial são satisfeitas. Para isso, vamos precisar entender as axiomas que definem um espaço vetorial e aplicar cada um deles às operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo
(no nosso caso, os reais
) é um conjunto
equipado com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que devem satisfazer certos axiomas, como comutatividade, associatividade, existência de um elemento neutro, etc.
Passo 3
Vamos começar verificando o primeiro axioma: fechamento da adição. Isso significa que, ao somar dois vetores quaisquer de
, o resultado deve também estar em
.
Considerando dois vetores
e
em
, a adição definida é
.
Como
e
são números reais, o resultado
também está em
. Portanto, o fechamento da adição está satisfeito.
Passo 4
Agora, vamos verificar a comutatividade da adição. Isso significa que
para quaisquer vetores
em
.
Vamos calcular:
Para ser comutativa, precisaríamos que
. Isso só é verdade para todos os
se
e
, o que não é o caso geral. Portanto, a adição NÃO é comutativa.
Passo 5
Como a comutatividade da adição não está satisfeita, já podemos concluir que
com as operações dadas NÃO é um espaço vetorial. Não precisamos verificar os demais axiomas, já que a violação de qualquer um deles impede que
seja um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
, com as operações de adição
e multiplicação por escalar
, NÃO é um espaço vetorial porque a operação de adição não é comutativa.