Verifique se os conjuntos abaixo com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas são espaços vetoriais. Caso não seja, cite ao menos una condição que não é satisfeita.
V=R^2 ;(a, b)+(c, d)=(a-b, c+d) e lambda(a, b)=(lambda^2 a, lambda^2 b). barN

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto , com as operações de adição definidas por e multiplicação por escalar definida por , é um espaço vetorial. Nosso objetivo é checar se todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial são satisfeitas. Para isso, vamos precisar entender as axiomas que definem um espaço vetorial e aplicar cada um deles às operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (no nosso caso, os reais ) é um conjunto equipado com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que devem satisfazer certos axiomas, como comutatividade, associatividade, existência de um elemento neutro, etc.

Passo 3

Vamos começar verificando o primeiro axioma: fechamento da adição. Isso significa que, ao somar dois vetores quaisquer de , o resultado deve também estar em .
Considerando dois vetores e em , a adição definida é .
Como e são números reais, o resultado também está em . Portanto, o fechamento da adição está satisfeito.

Passo 4

Agora, vamos verificar a comutatividade da adição. Isso significa que para quaisquer vetores em .
Vamos calcular:
Para ser comutativa, precisaríamos que . Isso só é verdade para todos os se e , o que não é o caso geral. Portanto, a adição NÃO é comutativa.

Passo 5

Como a comutatividade da adição não está satisfeita, já podemos concluir que com as operações dadas NÃO é um espaço vetorial. Não precisamos verificar os demais axiomas, já que a violação de qualquer um deles impede que seja um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto , com as operações de adição e multiplicação por escalar , NÃO é um espaço vetorial porque a operação de adição não é comutativa.

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