é a séries harmônica, i.e.,
Utilize indução matemática para justificar a seguinte desigualdade:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série harmônica, que é a soma dos inversos dos números naturais até
, ou seja,
O objetivo aqui é usar indução matemática para mostrar que, para números da forma
, essa soma
é maior ou igual a
para todo
. Para isso, vamos seguir os passos da indução: verificar o caso base e provar que, se a afirmação vale para um certo
, ela também vale para
.
Passo 2
Caso Base: Vamos testar para
.
Calculando
:
Agora, verificamos a desigualdade proposta:
Então,
A afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Hipótese de Indução: Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum
, ou seja,
Passo 4
Passo Indutivo: Vamos mostrar que a afirmação também vale para
, ou seja,
Sabemos que:
Então,
Observe que são
novos termos adicionados. Cada um desses termos é pelo menos
, já que
para
. Assim,
Pela hipótese de indução,
Portanto,
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que para todo
,