Se(s_n)_n é a séries harmônica, i.e.,
s_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n, para todo n em N
Utilize indução matemática para justificar a seguinte desigualdade:
s_{2^k} ≥ 1 + k/2, ∀ k ∈ N

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série harmônica, que é a soma dos inversos dos números naturais até , ou seja,
O objetivo aqui é usar indução matemática para mostrar que, para números da forma , essa soma é maior ou igual a para todo . Para isso, vamos seguir os passos da indução: verificar o caso base e provar que, se a afirmação vale para um certo , ela também vale para .

Passo 2

Caso Base: Vamos testar para .
Calculando :
Agora, verificamos a desigualdade proposta:
Então,
A afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Hipótese de Indução: Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum , ou seja,

Passo 4

Passo Indutivo: Vamos mostrar que a afirmação também vale para , ou seja,
Sabemos que:
Então,
Observe que são novos termos adicionados. Cada um desses termos é pelo menos , já que para . Assim,
Pela hipótese de indução,
Portanto,

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo ,

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