é a séries harmônica, i.e.,
Utilize indução matemática para justificar a seguinte desigualdade:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série harmônica, que é a soma dos inversos dos números naturais até , ou seja,
O objetivo aqui é usar indução matemática para mostrar que, para números da forma , essa soma é maior ou igual a para todo . Para isso, vamos seguir os passos da indução: verificar o caso base e provar que, se a afirmação vale para um certo , ela também vale para .

Passo 2

Caso Base: Vamos testar para .
Calculando :
Agora, verificamos a desigualdade proposta:
Então,
A afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Hipótese de Indução: Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum , ou seja,

Passo 4

Passo Indutivo: Vamos mostrar que a afirmação também vale para , ou seja,
Sabemos que:
Então,
Observe que são novos termos adicionados. Cada um desses termos é pelo menos , já que para . Assim,
Pela hipótese de indução,
Portanto,

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo ,

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7,2 7,7 7,3 6,6 7,1 7,8 7,0 5,5
7,6 6,7 6,8 6,5 7,2 5,8 8,6 6,9
a) Qual a estimativa pontual do número de horas de sono por noite da população de estudantes. Resposta: 6,89
b) Assumindo que a população tem distribuição normal, estime um intervalo de confiança de para o número médio de horas de sono por noite para a população. Resposta:
Esboce o campo vetorial desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes: .
Utilize indução matemática para justificar a seguinte identidade:
Utilize essa informação para concluir que a série é convergente. Calcule o valor desta soma.
Use o teste da comparação para verificar a convergência ou divergência das séries: