Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(b)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o conjunto e determinar quais são seus domínios e se são limitados. Neste caso, estamos trabalhando com números complexos, que pertencem ao campo da Álgebra Complexa. Para resolver, vamos precisar entender como representar números complexos no plano complexo e o que significa um conjunto ser limitado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são números complexos. Um número complexo tem a forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. No plano complexo, representamos cada número como um ponto onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária.

Passo 3

Vamos esboçar cada elemento do conjunto no plano complexo:
  1. : Este é o ponto de origem, onde e .
  2. : Aqui, (movimento 2 unidades para a esquerda) e (movimento 4 unidades para cima).
  3. : Neste caso, (movimento 4 unidades para a direita) e (movimento 1 unidade para cima).
  4. : Aqui, (aproximadamente 3.14, movimento para a direita) e (movimento 4.5 unidades para baixo).

Passo 4

Agora que esboçamos os pontos, vamos determinar os domínios. No contexto de conjuntos de números complexos, cada ponto representa um elemento único do conjunto, então o domínio aqui é simplesmente o conjunto em si, contendo esses quatro números complexos.

Passo 5

Para verificar se o conjunto é limitado, precisamos ver se todos os pontos estão dentro de uma região finita no plano complexo. Como temos apenas quatro pontos, todos eles ficam a uma certa distância da origem. Portanto, o conjunto é limitado, já que não se estende infinitamente em nenhuma direção.

Resposta

O conjunto é limitado e seu domínio é o próprio conjunto .

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