Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(b)
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o conjunto
e determinar quais são seus domínios e se são limitados. Neste caso, estamos trabalhando com números complexos, que pertencem ao campo da Álgebra Complexa. Para resolver, vamos precisar entender como representar números complexos no plano complexo e o que significa um conjunto ser limitado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são números complexos. Um número complexo tem a forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. No plano complexo, representamos cada número como um ponto onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária.
Passo 3
Vamos esboçar cada elemento do conjunto
no plano complexo:
-
: Este é o ponto de origem, onde e . -
: Aqui, (movimento 2 unidades para a esquerda) e (movimento 4 unidades para cima). -
: Neste caso, (movimento 4 unidades para a direita) e (movimento 1 unidade para cima). -
: Aqui, (aproximadamente 3.14, movimento para a direita) e (movimento 4.5 unidades para baixo).
Passo 4
Agora que esboçamos os pontos, vamos determinar os domínios. No contexto de conjuntos de números complexos, cada ponto representa um elemento único do conjunto, então o domínio aqui é simplesmente o conjunto
em si, contendo esses quatro números complexos.
Passo 5
Para verificar se o conjunto é limitado, precisamos ver se todos os pontos estão dentro de uma região finita no plano complexo. Como temos apenas quatro pontos, todos eles ficam a uma certa distância da origem. Portanto, o conjunto
é limitado, já que não se estende infinitamente em nenhuma direção.
Resposta
O conjunto
é limitado e seu domínio é o próprio conjunto
.
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