Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o conjunto e determinar quais são os domínios e quais são os conjuntos limitados. Isso envolve conceitos de números complexos, módulos e regiões no plano complexo. Vamos precisar entender como representar esses conjuntos graficamente e analisar suas propriedades, como serem domínios (ou seja, áreas abertas e conectadas) e se são limitados (ou seja, se estão contidos dentro de um círculo de raio finito).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Para um número complexo , representa a parte real, que é . Então, .
Agora, o módulo de , denotado por , é dado por .
A condição que define nosso conjunto é .

Passo 3

Vamos simplificar a desigualdade:
Como é sempre não negativo (já que estamos tomando o módulo), podemos remover as barras de módulo:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

A desigualdade define as regiões onde , ou seja, entre as retas e . No plano complexo, isso corresponde às áreas acima das retas de 45 graus em relação ao eixo real.
Portanto, o conjunto é formado por todos os números complexos cuja parte imaginária tem módulo maior que a parte real.

Passo 5

Agora, vamos esboçar esse conjunto no plano complexo. Imagine o eixo horizontal representando a parte real e o eixo vertical representando a parte imaginária . As retas e dividem o plano em quatro regiões. O conjunto inclui as regiões acima de e abaixo de .

Passo 6

Para determinar se é um domínio, precisamos verificar se ele é uma região aberta e conectada. Como a desigualdade é estrita ( ), não inclui as retas e , o que faz com que seja uma região aberta. Além disso, é uma região contínua sem interrupções, então é conectado.
Para verificar se é limitado, observamos que não há limites para ; podemos ter valores de tão grandes quanto quisermos, mantendo . Portanto, se estende infinitamente nas direções acima e abaixo das retas, o que significa que não é limitado.

Resposta

O conjunto é um domínio aberto e não é limitado.

Exercícios relacionados

Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(d)
Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(b)
Use o Teorema de Green para encontrar o trabalho total realizado ao mover um objeto no sentido anti-horário, uma vez em torno da circunferência , se o movimento for causado pelo campo de forças .
Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(b) A região cuja fronteira é a circunferência .