Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o conjunto
e determinar quais são os domínios e quais são os conjuntos limitados. Isso envolve conceitos de números complexos, módulos e regiões no plano complexo. Vamos precisar entender como representar esses conjuntos graficamente e analisar suas propriedades, como serem domínios (ou seja, áreas abertas e conectadas) e se são limitados (ou seja, se estão contidos dentro de um círculo de raio finito).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Para um número complexo
,
representa a parte real, que é
. Então,
.
Agora, o módulo de
, denotado por
, é dado por
.
A condição que define nosso conjunto
é
.
Passo 3
Vamos simplificar a desigualdade:
Como
é sempre não negativo (já que estamos tomando o módulo), podemos remover as barras de módulo:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
A desigualdade
define as regiões onde
, ou seja, entre as retas
e
. No plano complexo, isso corresponde às áreas acima das retas de 45 graus em relação ao eixo real.
Portanto, o conjunto
é formado por todos os números complexos cuja parte imaginária tem módulo maior que a parte real.
Passo 5
Agora, vamos esboçar esse conjunto no plano complexo. Imagine o eixo horizontal representando a parte real
e o eixo vertical representando a parte imaginária
. As retas
e
dividem o plano em quatro regiões. O conjunto
inclui as regiões acima de
e abaixo de
.
Passo 6
Para determinar se
é um domínio, precisamos verificar se ele é uma região aberta e conectada. Como a desigualdade é estrita (
), não inclui as retas
e
, o que faz com que
seja uma região aberta. Além disso, é uma região contínua sem interrupções, então é conectado.
Para verificar se
é limitado, observamos que não há limites para
; podemos ter valores de
tão grandes quanto quisermos, mantendo
. Portanto,
se estende infinitamente nas direções acima e abaixo das retas, o que significa que não é limitado.
Resposta
O conjunto
é um domínio aberto e não é limitado.
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(d)
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(b)
(b)
Use o Teorema de Green para encontrar o trabalho total realizado ao mover um objeto no sentido anti-horário, uma vez em torno da circunferência
, se o movimento for causado pelo campo de forças
.
Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(b) A região cuja fronteira é a circunferência .
(b) A região cuja fronteira é a circunferência