Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o conjunto
e determinar quais são domínios e quais são limitados. Para isso, vamos precisar entender o que representa o conjunto
e aplicar conceitos de análise complexa, como argumento de números complexos e propriedades de conjuntos no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
representa o conjunto dos números complexos, e
é o argumento de
, ou seja, o ângulo que o número complexo faz com o eixo real positivo no plano complexo.
Passo 3
Vamos interpretar a condição
. Isso significa que estamos considerando todos os números complexos cujo argumento está entre
e
. No plano complexo, isso corresponde a uma região que começa um pouco abaixo do eixo real positivo (devido a
) e se estende até
, que é equivalente a
devido à periodicidade dos ângulos.
Passo 4
Vamos esboçar esse conjunto no plano complexo. No sistema de coordenadas, o eixo real está na horizontal e o eixo imaginário na vertical. O ângulo
corresponde a uma reta que faz 45 graus abaixo do eixo real, e
(ou
) corresponde a uma reta que aponta diretamente para baixo no eixo imaginário.
Portanto, o conjunto
é a região angular que começa levemente abaixo do eixo real positivo e se estende até o eixo imaginário negativo, formando uma região sem bordas definidas de distância, ou seja, se estende até o infinito.
Passo 5
Agora, vamos determinar se
é um domínio e se é limitado.
-
Domínio: Um domínio no plano complexo é um conjunto aberto e conexo. Nosso conjunto
é aberto porque, para qualquer ponto em , podemos encontrar uma vizinhança ao redor desse ponto que ainda está dentro de . Além disso, é conexo porque qualquer dois pontos em podem ser ligados por um caminho que permanece inteiramente dentro de . -
Limitado: Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito no plano complexo. No caso de
, como se estende até o infinito em todas as direções dentro do intervalo de argumentos especificado, ele não é limitado.
Resposta
O conjunto
corresponde a uma região angular aberta e conexa no plano complexo, estendendo-se indefinidamente a partir da origem entre os ângulos
e
. Portanto,
é um domínio, porém não é limitado.
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.