Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o conjunto e determinar quais são domínios e quais são limitados. Para isso, vamos precisar entender o que representa o conjunto e aplicar conceitos de análise complexa, como argumento de números complexos e propriedades de conjuntos no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, representa o conjunto dos números complexos, e é o argumento de , ou seja, o ângulo que o número complexo faz com o eixo real positivo no plano complexo.

Passo 3

Vamos interpretar a condição . Isso significa que estamos considerando todos os números complexos cujo argumento está entre e . No plano complexo, isso corresponde a uma região que começa um pouco abaixo do eixo real positivo (devido a ) e se estende até , que é equivalente a devido à periodicidade dos ângulos.

Passo 4

Vamos esboçar esse conjunto no plano complexo. No sistema de coordenadas, o eixo real está na horizontal e o eixo imaginário na vertical. O ângulo corresponde a uma reta que faz 45 graus abaixo do eixo real, e (ou ) corresponde a uma reta que aponta diretamente para baixo no eixo imaginário.
Portanto, o conjunto é a região angular que começa levemente abaixo do eixo real positivo e se estende até o eixo imaginário negativo, formando uma região sem bordas definidas de distância, ou seja, se estende até o infinito.

Passo 5

Agora, vamos determinar se é um domínio e se é limitado.
  • Domínio: Um domínio no plano complexo é um conjunto aberto e conexo. Nosso conjunto é aberto porque, para qualquer ponto em , podemos encontrar uma vizinhança ao redor desse ponto que ainda está dentro de . Além disso, é conexo porque qualquer dois pontos em podem ser ligados por um caminho que permanece inteiramente dentro de .
  • Limitado: Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito no plano complexo. No caso de , como se estende até o infinito em todas as direções dentro do intervalo de argumentos especificado, ele não é limitado.

Resposta

O conjunto corresponde a uma região angular aberta e conexa no plano complexo, estendendo-se indefinidamente a partir da origem entre os ângulos e . Portanto, é um domínio, porém não é limitado.

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