Verdadeiro ou falso? Justifique.
(d) (z^{w_{1}})^{w_{2}} = z^{w_{1} * w_{2}}, para todo z, w1, w2 em C.

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa descobrir se a igualdade (z^{w_{1}})^{w_{2}} = z^{w_{1} * w_{2}} é verdadeira ou falsa para quaisquer números complexos . Vamos usar conhecimentos de exponenciação no conjunto dos números complexos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a exponenciação em números complexos. Para um número complexo z e outro complexo w, a expressão é definida como , onde é o logaritmo complexo de z. Esse logaritmo não é único; ele pode ter múltiplos valores devido à natureza dos números complexos.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Substituindo na definição, temos:
Como o logaritmo é multi-valuado, pode assumir valores diferentes, afetando o resultado final.

Passo 4

Por outro lado, a expressão é diretamente:
Aqui, novamente, o logaritmo pode ter múltiplos valores, assim como no caso anterior.

Passo 5

Apesar de ambas as expressões parecerem semelhantes, a presença dos múltiplos valores do logaritmo complexo faz com que e possam resultar em valores diferentes dependendo das escolhas dos ramos do logaritmo. Isso significa que, em geral, essas duas expressões não são iguais para todos os números complexos.

Resposta

Falso. A igualdade (z^{w_{1}})^{w_{2}} = z^{w_{1} * w_{2}} não é válida para todos os números complexos devido à multi-valoração do logaritmo e das funções exponenciais nos números complexos.

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