Verdadeiro ou falso? Justifique.
(d)
, para todo
.
(d)
Passo 1
Nesse exercício, a gente precisa descobrir se a igualdade
é verdadeira ou falsa para quaisquer números complexos
. Vamos usar conhecimentos de exponenciação no conjunto dos números complexos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a exponenciação em números complexos. Para um número complexo
e outro complexo
, a expressão
é definida como
, onde
é o logaritmo complexo de
. Esse logaritmo não é único; ele pode ter múltiplos valores devido à natureza dos números complexos.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Substituindo na definição, temos:
Como o logaritmo é multi-valuado,
pode assumir valores diferentes, afetando o resultado final.
Passo 4
Por outro lado, a expressão
é diretamente:
Aqui, novamente, o logaritmo
pode ter múltiplos valores, assim como no caso anterior.
Passo 5
Apesar de ambas as expressões parecerem semelhantes, a presença dos múltiplos valores do logaritmo complexo faz com que
e
possam resultar em valores diferentes dependendo das escolhas dos ramos do logaritmo. Isso significa que, em geral, essas duas expressões não são iguais para todos os números complexos.
Resposta
Falso. A igualdade
não é válida para todos os números complexos devido à multi-valoração do logaritmo e das funções exponenciais nos números complexos.
Exercícios relacionados
Verdadeiro ou falso? Justifique.
© .
©
Verdadeiro ou falso? Justifique.
(b) A equação não tem solução.
(b) A equação
Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(a)
(a)
Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(b)
(b)