Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o conjunto
definido pelos números complexos
que satisfazem a desigualdade
. Precisamos esboçar esse conjunto no plano complexo e determinar se ele é um domínio e se é limitado. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e geometria no plano.
Passo 2
Vamos começar representando o número complexo
na forma
, onde
e
são números reais. A desigualdade dada fica:
Isso significa que a distância de
até o ponto
no plano complexo é maior ou igual ao dobro da distância de
até a origem.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada lado da desigualdade:
Então, a desigualdade fica:
Passo 4
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Expandindo os termos:
Reorganizando os termos:
Dividindo todos os termos por -3 (lembre que ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte o sinal):
Passo 5
Para identificar a forma geométrica, completamos o quadrado para a variável
:
Isso representa a equação de um círculo com centro em
e raio
no plano complexo.
Resposta
O conjunto
é um círculo no plano complexo com centro no ponto
e raio
. Esse conjunto é limitado porque está contido dentro de um círculo finito e também é considerado um domínio fechado.
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.
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(b)
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(d)
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