Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(a)

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o conjunto definido pelos números complexos que satisfazem a desigualdade . Precisamos esboçar esse conjunto no plano complexo e determinar se ele é um domínio e se é limitado. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e geometria no plano.

Passo 2

Vamos começar representando o número complexo na forma , onde e são números reais. A desigualdade dada fica:
Isso significa que a distância de até o ponto no plano complexo é maior ou igual ao dobro da distância de até a origem.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada lado da desigualdade:
Então, a desigualdade fica:

Passo 4

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Expandindo os termos:
Reorganizando os termos:
Dividindo todos os termos por -3 (lembre que ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte o sinal):

Passo 5

Para identificar a forma geométrica, completamos o quadrado para a variável :
Isso representa a equação de um círculo com centro em e raio no plano complexo.

Resposta

O conjunto é um círculo no plano complexo com centro no ponto e raio . Esse conjunto é limitado porque está contido dentro de um círculo finito e também é considerado um domínio fechado.

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