Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o conjunto
e descobrir qual é o domínio desse conjunto e se ele é limitado. Aqui, estamos trabalhando com números complexos, e vamos usar conceitos de análise de conjuntos e propriedades de números complexos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que esse conjunto
representa. Temos
, que é um número complexo fixo, e estamos dividindo ele por
, onde
é um número natural (1, 2, 3, …). Então, para cada valor de
, temos um novo número complexo.
Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Cada vez que aumentamos
, estamos dividindo o número complexo original por um número maior, o que faz com que o resultado se aproxime de zero.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o conjunto
. Em um plano complexo, os números complexos são representados com a parte real no eixo horizontal e a parte imaginária no vertical. Então,
está localizado em (3, 4). Conforme
aumenta, os pontos
se movem em direção à origem (0, 0).
Então, o conjunto
é uma sequência de pontos que se aproximam da origem ao longo da linha que liga
à origem.
Passo 4
Vamos determinar o domínio e se o conjunto é limitado:
-
Domínio: O domínio aqui é o conjunto dos números naturais
, já que pertence a . -
Limitado: Um conjunto é limitado se existe um número real que seja maior que a distância de todos os pontos do conjunto até a origem. Aqui, o primeiro ponto
tem módulo . Os outros pontos têm módulos menores que 5, já que estamos dividindo por . Portanto, o conjunto é limitado pelo número 5.
Resposta
O conjunto
tem domínio
e é limitado, com todos os seus elementos a uma distância máxima de 5 unidades da origem no plano complexo.