Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
© C = {(3 + 4i) / n , n ∈ N}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o conjunto e descobrir qual é o domínio desse conjunto e se ele é limitado. Aqui, estamos trabalhando com números complexos, e vamos usar conceitos de análise de conjuntos e propriedades de números complexos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que esse conjunto representa. Temos , que é um número complexo fixo, e estamos dividindo ele por , onde é um número natural (1, 2, 3, …). Então, para cada valor de , temos um novo número complexo.
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…
Cada vez que aumentamos , estamos dividindo o número complexo original por um número maior, o que faz com que o resultado se aproxime de zero.

Passo 3

Agora, vamos esboçar o conjunto . Em um plano complexo, os números complexos são representados com a parte real no eixo horizontal e a parte imaginária no vertical. Então, está localizado em (3, 4). Conforme aumenta, os pontos se movem em direção à origem (0, 0).
Então, o conjunto é uma sequência de pontos que se aproximam da origem ao longo da linha que liga à origem.

Passo 4

Vamos determinar o domínio e se o conjunto é limitado:
  • Domínio: O domínio aqui é o conjunto dos números naturais , já que pertence a .
  • Limitado: Um conjunto é limitado se existe um número real que seja maior que a distância de todos os pontos do conjunto até a origem. Aqui, o primeiro ponto tem módulo . Os outros pontos têm módulos menores que 5, já que estamos dividindo por . Portanto, o conjunto é limitado pelo número 5.

Resposta

O conjunto tem domínio e é limitado, com todos os seus elementos a uma distância máxima de 5 unidades da origem no plano complexo.

Exercícios relacionados