Suponha que um barco seja puxado para o cais por uma corda presa à sua proa, situada 6 m abaixo do apoio da corda no cais, conforme a figura abaixo. Suponha ainda que a corda seja puxada com uma velocidade de 2 m/s. Nesse caso, o comprimento c(t) da corda entre a proa e o apoio, a distância d(t) do barco ao cais e o ângulo theta(t) entre a corda e a vertical são funções do tempo t. Denote por tau o instante em que c(tau) = 10 m.
(b) Calcule a derivada d'(\tau).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um barco sendo puxado para o cais por uma corda que está presa 6 metros abaixo do ponto onde a corda está fixada no cais. A corda está sendo puxada a uma velocidade constante de . As funções (comprimento da corda), (distância do barco ao cais) e o ângulo são todas funções do tempo . Queremos encontrar a derivada no instante quando o comprimento da corda é 10 metros.
Vamos usar conceitos de taxas relacionadas da Cálculo Diferencial para resolver isso. Precisaremos aplicar o teorema de Pitágoras para relacionar e , e depois derivar em relação ao tempo para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar o comprimento da corda e a distância do barco ao cais usando o Teorema de Pitágoras. A situação forma um triângulo retângulo onde:
  • A altura fixa é de 6 metros (distância vertical da corda).
  • A base é a distância que o barco está do cais.
  • A hipotenusa é o comprimento da corda .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo para relacionar as taxas de variação de e . Aplicando a derivada, temos:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 2:

Passo 4

Queremos encontrar quando . Primeiro, precisamos encontrar naquele instante. Voltando à equação de Pitágoras:
Sabemos que (a velocidade com que a corda está sendo puxada).

Passo 5

Agora, substituímos , e na equação derivada para encontrar :

Resposta

A derivada é igual a .

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