Suponha que um barco seja puxado para o cais por uma corda presa à sua proa, situada 6 m abaixo do apoio da corda no cais, conforme a figura abaixo. Suponha ainda que a corda seja puxada com uma velocidade de
. Nesse caso, o comprimento
da corda entre a proa e o apoio, a distância
do barco ao cais e o ângulo
entre a corda e a vertical são funções do tempo
. Denote por
o instante em que
.
(b) Calcule a derivada
.
(b) Calcule a derivada
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um barco sendo puxado para o cais por uma corda que está presa 6 metros abaixo do ponto onde a corda está fixada no cais. A corda está sendo puxada a uma velocidade constante de
. As funções
(comprimento da corda),
(distância do barco ao cais) e o ângulo
são todas funções do tempo
. Queremos encontrar a derivada
no instante
quando o comprimento da corda
é 10 metros.
Vamos usar conceitos de taxas relacionadas da Cálculo Diferencial para resolver isso. Precisaremos aplicar o teorema de Pitágoras para relacionar
e
, e depois derivar em relação ao tempo para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o comprimento da corda
e a distância do barco ao cais
usando o Teorema de Pitágoras. A situação forma um triângulo retângulo onde:
- A altura fixa é de 6 metros (distância vertical da corda).
- A base é a distância
que o barco está do cais. - A hipotenusa é o comprimento da corda
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo
para relacionar as taxas de variação de
e
. Aplicando a derivada, temos:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 2:
Passo 4
Queremos encontrar
quando
. Primeiro, precisamos encontrar
naquele instante. Voltando à equação de Pitágoras:
Sabemos que
(a velocidade com que a corda está sendo puxada).
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação derivada para encontrar
:
Resposta
A derivada
é igual a
.
Exercícios relacionados
Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio
.
(a) Encontre a relação entre a área do derramamento e o raio
.
(a) Encontre a relação entre a área
Seja
o quadrado com vértices
) (todas as combinações de
Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
©
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Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(f)
(f)