No instante uma partícula no espaço é dada por
Determine a posição, a velocidade e a aceleração da partícula para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula cujo movimento no espaço é descrito por funções de posição em relação ao tempo . O que a gente precisa fazer é:
  1. Determinar a posição da partícula quando .
  2. Calcular a velocidade da partícula nesse mesmo instante.
  3. Encontrar a aceleração da partícula também em .
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, que envolvem derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração a partir das funções de posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição da partícula em . A posição é dada pelas funções:
Então, basta substituir em cada uma dessas equações:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente:
  1. Para :
  1. Para :
é
  1. Para :
Então, a velocidade em é:
Calculando :
Então:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo ou a segunda derivada da posição. Ou seja:
Vamos derivar cada componente da velocidade:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, a aceleração em é:
Calculando :
Então:

Resposta

Em :
  • Posição:
  • Velocidade:
  • Aceleração:

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Calcule a derivada de:
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.
Calcule os seguintes limites: