No instante
uma partícula no espaço é dada por
Determine a posição, a velocidade e a aceleração da partícula para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula cujo movimento no espaço é descrito por funções de posição em relação ao tempo
. O que a gente precisa fazer é:
- Determinar a posição da partícula quando
. - Calcular a velocidade da partícula nesse mesmo instante.
- Encontrar a aceleração da partícula também em
.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, que envolvem derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração a partir das funções de posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição da partícula em
. A posição é dada pelas funções:
Então, basta substituir
em cada uma dessas equações:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a velocidade em
é:
Calculando
:
Então:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo ou a segunda derivada da posição. Ou seja:
Vamos derivar cada componente da velocidade:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a aceleração em
é:
Calculando
:
Então:
Resposta
Em
:
- Posição:
- Velocidade:
- Aceleração:
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Calcule a derivada de:
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.
Calcule os seguintes limites: