Use uma translação dos eixos coordenados para a nova origem indicada. 3 x^2+2 y^2+12 x-4 y+8=0, O^prime=(-2,1)

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação do segundo grau: . A tarefa é fazer uma translação dos eixos coordenados para uma nova origem, que tá no ponto . Vamos precisar usar a teoria de translação de eixos para simplificar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é translação de eixos. É basicamente mover a origem dos eixos para um novo ponto . Isso ajuda a simplificar a equação, eliminando os termos lineares (os que têm só ou só ).

Passo 3

A ideia é fazer uma mudança de variável. Vamos chamar as novas coordenadas de x = x' + h e y = y' + k e , onde:
Aqui, e são as coordenadas do novo ponto de origem . No nosso caso, e .

Passo 4

Substituindo 3(x' - 2)^2 + 2(y' + 1)^2 + 12(x' - 2) - 4(y' + 1) + 8 = 0 e 3(x'^2 - 4x' + 4) + 2(y'^2 + 2y' + 1) + 12x' - 24 - 4y' - 4 + 8 = 0 na equação original:
Agora, vamos expandir tudo:

Passo 5

Distribuindo os números:
3x'^2 - 12x' + 12 + 2y'^2 + 4y' + 2 + 12x' - 24 - 4y' - 4 + 8 = 0
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
3x'^2 + 2y'^2 + ( -12x' + 12x') + (4y' - 4y') + (12 + 2 - 24 - 4 + 8) = 0
Simplificando:
3x'^2 + 2y'^2 -6 = 0

Resposta

Após a translação dos eixos para 3x'^2 + 2y'^2 = 6 , a equação fica:

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