Sabendo que
l beta=(ll 1 & 1 0 & 0 ),(cc 1 & 0 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 ) e beta^prime=(ll 1 & 0 1 & 0 ),(cc 0 & -1 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 )
são bases de U=(ccx & y z & t) in M2(R) ; x-y-z=0. Determine:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas bases, e , de um espaço que é formado por matrizes com a condição . Nosso objetivo é determinar algo sobre essas bases. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, como trabalhar com matrizes, e como verificar se duas bases estão relacionadas de alguma forma específica, como encontrar a matriz de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o espaço U = x & y z & t in M2(R) ; ; ; x - y - z = 0 . Ele é definido por:
y + z & y z & t
Isso significa que qualquer matriz em deve satisfazer a equação . Simplificando, temos que . Portanto, podemos reescrever as matrizes em como:
Isso nos mostra que, em , os elementos , e são livres, ou seja, podem assumir quaisquer valores reais.

Passo 3

Agora, vamos analisar as bases beta = 1 & 1 0 & 0 , 1 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 e beta' = 1 & 0 1 & 0 , 0 & -1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 .
Ambas as bases têm três matrizes, o que é compatível com o fato de ser um espaço vetorial de dimensão 3 (já que temos três parâmetros livres: , , e ).

Passo 4

Vamos determinar a matriz de mudança de base de para . Isso significa que queremos encontrar uma matriz tal que qualquer vetor coordenado em possa ser expresso em termos de .
Para isso, precisamos expressar cada vetor de como combinação linear dos vetores de .

Passo 5

Vamos começar com o primeiro vetor de v'1 = 1 & 0 1 & 0 = v2 :
Isso significa que o primeiro vetor de já é o segundo vetor de . Assim, a coordenada desse vetor em relação a é .

Passo 6

Agora, o segundo vetor de v'2 = 0 & -1 1 & 0 :
v'2 = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3
Queremos encontrar escalares 0 & -1 1 & 0 = a 1 & 1 0 & 0 + b 1 & 0 1 & 0 + c 0 & 0 0 & 1 , a + b = 0 a = -1 b = 1 c = 0 , e v'2 = (-1) cdot v1 + (1) cdot v2 + (0) cdot v3 tais que:
Substituindo:
Isso resulta em:
Portanto, a combinação linear é:
Logo, a coordenada é .

Passo 7

Por último, o terceiro vetor de v'3 = 0 & 0 0 & 1 = v3 :
Assim como o primeiro vetor, o terceiro vetor de já é o terceiro vetor de . Portanto, sua coordenada é .

Passo 8

Com as coordenadas encontradas, podemos montar a matriz de mudança de base P = 0 & -1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :
Essa matriz permite converter coordenadas de para .

Resposta

A matriz de mudança de base de P = 0 & -1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 para é:

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