Esboce a curva dada pela equação: x^2-2 x-3 y-5=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva da equação . Esse tipo de problema pertence à matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas, que incluem parábolas, elipses e hipérboles. Para resolver, a gente precisa transformar a equação para uma forma mais familiar, facilitando o esboço da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos com x^2 - 2x - 3y - 5 = 0 . Começamos assim:
x^2 - 2x = 3y + 5
Vamos mover o e o termo constante para o outro lado:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 2x + 1 - 1 = 3y + 5 . Isso ajuda a identificar a forma da cônica. Para completar o quadrado de (x - 1)^2 - 1 = 3y + 5 , adicionamos e subtraímos :

Passo 4

Em seguida, vamos isolar o termo (x - 1)^2 = 3y + 6 :
(x - 1)^2 = 3(y + 2)

Passo 5

Agora, a equação está na forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Comparando com a nossa equação , vemos que:
  • então
Isso nos diz que a parábola tem vértice no ponto e abre para cima porque o coeficiente de é positivo.

Passo 6

Para esboçar a parábola:
  1. Marque o vértice em .
  2. Como , a parábola abre para cima a uma distância de unidades do vértice.
  3. Desenhe a linha de simetria vertical passando pelo vértice, que é a reta .
  4. Trace a curva em forma de “U” abrindo para cima, simétrica em relação à linha de simetria.

Resposta

A curva é uma parábola com vértice no ponto que abre para cima. O esboço da parábola deve mostrar o vértice mencionado, a linha de simetria vertical e a forma característica de “U” indicando a abertura para cima.

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