Esboce a curva dada pela equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar a curva dada pela equação
. A gente vai precisar trabalhar com equações de segunda ordem, especificamente identificando o tipo de conicária que essa equação representa. Para isso, vamos reorganizar a equação e completar o quadrado para facilitar o entendimento da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos com
dos termos com
:
Vamos isolar os termos que envolvem
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado com o termo em
. Completar o quadrado é uma técnica que nos ajuda a transformar uma expressão quadrática em uma forma mais fácil de analisar, especialmente para identificar o vértice de uma parábola.
O termo que temos é
. Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9 na equação:
Isso fica:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Adicionando 9 aos dois lados:
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por -3:
Passo 5
Agora, temos a equação na forma:
Essa é a equação de uma parábola que abre para a esquerda. A forma geral da parábola
nos mostra que o vértice está em
.
Comparando com a nossa equação, identificamos:
-
-
-
(indica que a parábola abre para a esquerda porque é negativo)
Passo 6
Vamos identificar mais características da parábola para esboçar o gráfico:
- Vértice:
- Eixo de simetria: A linha que passa pelo vértice paralela à abertura da parábola. Neste caso, é a linha
. - Abertura: Para a esquerda, já que
é negativo.
Podemos também encontrar alguns pontos adicionais substituindo valores de
na equação para encontrar
:
Por exemplo, para
:
Para
:
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar a parábola:
- Marque o vértice em
. - Desenhe o eixo de simetria
. - Plote os pontos adicionais, como
e . - Desenhe a curva da parábola abrindo para a esquerda, passando pelos pontos marcados.
Resposta
A curva é uma parábola com vértice em
que abre para a esquerda. O esboço deve mostrar o vértice, o eixo de simetria
, e alguns pontos adicionais para orientar a forma da parábola.