Esboce a curva dada pela equação: y^2-6 y+3 x+21=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar a curva dada pela equação . A gente vai precisar trabalhar com equações de segunda ordem, especificamente identificando o tipo de conicária que essa equação representa. Para isso, vamos reorganizar a equação e completar o quadrado para facilitar o entendimento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos com y^2 - 6y + 3x + 21 = 0 dos termos com y^2 - 6y = -3x - 21 :
Vamos isolar os termos que envolvem :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado com o termo em (-62)^2 = (-3)^2 = 9 . Completar o quadrado é uma técnica que nos ajuda a transformar uma expressão quadrática em uma forma mais fácil de analisar, especialmente para identificar o vértice de uma parábola.
O termo que temos é y^2 - 6y + 9 - 9 = -3x - 21 . Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de (y - 3)^2 - 9 = -3x - 21 , que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9 na equação:
Isso fica:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
(y - 3)^2 - 9 = -3x - 21
Adicionando 9 aos dois lados:
(y - 3)^2 = -3x - 12
Agora, vamos isolar -3x = (y - 3)^2 + 12 :
x = -13(y - 3)^2 - 4
Dividindo ambos os lados por -3:

Passo 5

Agora, temos a equação na forma:
x = -13(y - 3)^2 - 4
Essa é a equação de uma parábola que abre para a esquerda. A forma geral da parábola nos mostra que o vértice está em .
Comparando com a nossa equação, identificamos:
  • (indica que a parábola abre para a esquerda porque é negativo)

Passo 6

Vamos identificar mais características da parábola para esboçar o gráfico:
  • Vértice: x = -13(4 - 3)^2 - 4 = -13(1)^2 - 4 = -13 - 4 = -133
  • Eixo de simetria: A linha que passa pelo vértice paralela à abertura da parábola. Neste caso, é a linha x = -13(2 - 3)^2 - 4 = -13(1)^2 - 4 = -13 - 4 = -133 .
  • Abertura: Para a esquerda, já que é negativo.
Podemos também encontrar alguns pontos adicionais substituindo valores de na equação para encontrar :
Por exemplo, para :
Para :

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar a parábola:
  1. Marque o vértice em .
  2. Desenhe o eixo de simetria .
  3. Plote os pontos adicionais, como e .
  4. Desenhe a curva da parábola abrindo para a esquerda, passando pelos pontos marcados.

Resposta

A curva é uma parábola com vértice em que abre para a esquerda. O esboço deve mostrar o vértice, o eixo de simetria , e alguns pontos adicionais para orientar a forma da parábola.

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