Esboce a curva dada pela equação:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício: Esboce a curva dada pela equação
. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com curvas no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação para identificar que tipo de curva estamos tratando e depois esboçá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da curva. A equação dada é:
Vamos isolar o termo contendo
:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Passo 3
Agora, queremos escrever a equação de forma que
esteja em função de
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Então:
Passo 4
Observe que a equação está na forma geral de uma parábola que abre na direção do eixo
. Para facilitar o esboço, vamos completar o quadrado nos termos de
.
Começamos com a parte quadrática:
Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses. Para isso, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado, obtendo
. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:
Distribuindo o
:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Esta é a equação padrão de uma parábola que abre para a direita, pois
está em função de
. A equação geral de uma parábola que abre para a direita é:
Onde
é o vértice da parábola e
determina a largura e a direção da abertura.
Passo 7
Comparando as duas equações, podemos identificar:
-
(como é positivo, a parábola abre para a direita) -
-
Então, o vértice da parábola está no ponto
.
Passo 8
Para esboçar a parábola, plotamos o vértice
. Como
, a parábola abre para a direita e é menos estreita comparada a uma parábola com
. Podemos também identificar que o foco e a diretriz estão a uma distância de $ \frac{1}{4a} = \frac{1}{4 \times \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ unidades à direita do vértice.
Resposta
A curva é uma parábola com vértice em
que abre para a direita. Ao esboçar, posicionamos o vértice nesse ponto e desenhamos a parábola abrindo-se na direção positiva do eixo
.