Esboce a curva dada pela equação: y^2+8 y-2 x+22=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício: Esboce a curva dada pela equação y^2+8 y-2 x+22=0. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com curvas no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação para identificar que tipo de curva estamos tratando e depois esboçá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da curva. A equação dada é:
y^2 + 8y - 2x + 22 = 0
Vamos isolar o termo contendo x:
-2x = -y^2 - 8y - 22
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
2x = y^2 + 8y + 22

Passo 3

Agora, queremos escrever a equação de forma que x esteja em função de y. Para isso, dividimos todos os termos por 2:
x = y^2 + 8y + 222
Então:
x = 12y^2 + 4y + 11

Passo 4

Observe que a equação está na forma geral de uma parábola que abre na direção do eixo x. Para facilitar o esboço, vamos completar o quadrado nos termos de y.
Começamos com a parte quadrática:
12y^2 + 4y
Primeiro, fatoramos o coeficiente de y^2:
12(y^2 + 8y)
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses. Para isso, pegamos metade do coeficiente de y, que é 4, e elevamos ao quadrado, obtendo 16. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:
12(y^2 + 8y + 16 - 16) = 12((y + 4)^2 - 16)
Distribuindo o 12:
12(y + 4)^2 - 8

Passo 5

Agora, substituímos de volta na equação original:
x = 12(y + 4)^2 - 8 + 11
Simplificando:
x = 12(y + 4)^2 + 3

Passo 6

Esta é a equação padrão de uma parábola que abre para a direita, pois x está em função de (y + 4)^2. A equação geral de uma parábola que abre para a direita é:
x = a(y - k)^2 + h
Onde (h, k) é o vértice da parábola e a determina a largura e a direção da abertura.

Passo 7

Comparando as duas equações, podemos identificar:
  • a = 12 (como a é positivo, a parábola abre para a direita)
  • h = 3
  • k = -4
Então, o vértice da parábola está no ponto (3, -4).

Passo 8

Para esboçar a parábola, plotamos o vértice (3, -4). Como a = 12, a parábola abre para a direita e é menos estreita comparada a uma parábola com a = 1. Podemos também identificar que o foco e a diretriz estão a uma distância de $ \frac{1}{4a} = \frac{1}{4 \times \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ unidades à direita do vértice.

Resposta

A curva é uma parábola com vértice em (3, -4) que abre para a direita. Ao esboçar, posicionamos o vértice nesse ponto e desenhamos a parábola abrindo-se na direção positiva do eixo x.

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