Esboce a curva de interseção das superfícies e obtenha uma equação vetorial para a curva em termos do parâmetro
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem duas superfícies definidas pelas equações
e
. O objetivo é desenhar como essas duas superfícies se cruzam e achar uma equação vetorial que descreva essa curva de interseção usando
como parâmetro. A matéria aqui envolve geometria analítica no espaço tridimensional e parametrização de curvas. Vamos precisar usar substituição de equações e entender como representar vetores no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a curva de interseção das duas superfícies. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por
e
. Como
, podemos substituir
por
na segunda equação:
Simplificando:
Agora, queremos expressar
em função de
:
Então, agora temos todas as três coordenadas em função de
:
-
(já que vamos usar como parâmetro) -
(porque ) -
Passo 3
Agora que temos todas as coordenadas em termos de
, podemos escrever a equação vetorial da curva. Um vetor posição no espaço tridimensional é dado por:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação vetorial da curva de interseção em termos do parâmetro
é:
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e mostre o sentido de
crescente.
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no ponto onde
.