Esboce a curva de interseção das superfícies e obtenha uma equação vetorial para a curva em termos do parâmetro x = t.
y = x, x + y + z = 1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem duas superfícies definidas pelas equações e . O objetivo é desenhar como essas duas superfícies se cruzam e achar uma equação vetorial que descreva essa curva de interseção usando como parâmetro. A matéria aqui envolve geometria analítica no espaço tridimensional e parametrização de curvas. Vamos precisar usar substituição de equações e entender como representar vetores no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a curva de interseção das duas superfícies. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por e . Como , podemos substituir por na segunda equação:
Simplificando:
Agora, queremos expressar em função de :
Então, agora temos todas as três coordenadas em função de :
  • (já que vamos usar como parâmetro)
  • (porque )

Passo 3

Agora que temos todas as coordenadas em termos de , podemos escrever a equação vetorial da curva. Um vetor posição no espaço tridimensional é dado por:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação vetorial da curva de interseção em termos do parâmetro é:

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Esboce o gráfico de r(t) e mostre o sentido de t crescente.
r(t) = 9 cos(t) i + 4 sen(t) j + t k
Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
O gráfico de r(t) = < 2 cos t, 2 sen t, t > é uma hélice circular.
Esboce o gráfico de r(t) e mostre o sentido de t crescente.
r(t) = t i + t j + sen(t) k ; 0 <= t <= 2 pi
Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva
x^2 + x*y + y^3 = 1
no ponto onde x = 1.