Esboce o gráfico de r(t) e mostre o sentido de t crescente.
r(t) = 9 cos(t) i + 4 sen(t) j + t k

Passo 1

OK, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que esboçar o gráfico de uma função vetorial . Isso envolve entender como cada componente dessa função se comporta. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica e funções paramétricas para visualizar como a trajetória desse vetor se desenha no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes da função vetorial para entender melhor:
  • A componente em i:
  • A componente em j:
  • A componente em k:
Isso significa que, para cada valor de t, temos um ponto no espaço com coordenadas (x, y, z).

Passo 3

Vamos analisar as componentes x(t) e y(t). Note que e . Se eliminarmos o parâmetro t, podemos relacionar x e y:
Isso nos mostra que no plano xy, a trajetória forma uma elipse com semieixos de 9 unidades na direção x e 4 unidades na direção y.

Passo 4

Agora, observamos a componente . Isso indica que conforme t aumenta, o valor de z também aumenta linearmente. Isso significa que a trajetória está “subindo” no eixo z à medida que percorre a elipse no plano xy.

Passo 5

Juntando todas as informações, percebemos que a função r(t) descreve uma hélice elíptica que envolve o eixo z. Conforme t aumenta, o ponto se move ao longo da elipse no plano xy enquanto sobe no eixo z.

Resposta

O gráfico de é uma hélice elíptica que circunda o eixo z. Conforme t cresce, o ponto percorre uma elipse no plano xy com semieixos 9 e 4, ao mesmo tempo que sobe continuamente no eixo z. O sentido de t crescente é, portanto, no sentido horário ao olhar de cima e ascendendo verticalmente.

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