Esboce a curva de nível de passando pelo ponto (i.e. a curva de nível ) e desenhe o vetor gradiente em :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva de nível da função que passa pelo ponto e desenhar o vetor gradiente nesse ponto. A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente curvas de nível e vetores gradientes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a curva de nível e como calcular o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor da função no ponto . Isso é importante porque a curva de nível é onde a função assume esse valor constante.
Calculando:
Então, nossa curva de nível vai ser onde .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação da curva de nível. Sabemos que:
Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por :
Essa é a equação da nossa curva de nível! Ela representa uma parábola que se abre para baixo no plano .

Passo 4

Vamos esboçar a curva de nível . Para isso, podemos escolher alguns valores de e encontrar os correspondentes valores de :
Plotando esses pontos, vemos uma parábola simétrica em relação ao eixo , que passa pelo ponto .

Passo 5

Agora, vamos calcular o vetor gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular às curvas de nível.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de em relação a e :
Então, o vetor gradiente é:

Passo 6

Vamos calcular o gradiente no ponto :
Então, o vetor gradiente em é:

Passo 7

Por fim, vamos desenhar o vetor gradiente no ponto . No gráfico da curva de nível , o vetor vai ser representado como uma seta que sai de na direção indicada pelos componentes (horizontal) e (vertical). Esse vetor é perpendicular à curva de nível naquele ponto.

Resposta

A curva de nível de que passa pelo ponto é a parábola . O vetor gradiente em é , representando a direção de maior aumento da função naquele ponto.

Exercícios relacionados

Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é . Suponha que .
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?
Esboce a curva de nível de passando pelo ponto (i.e. a curva de nível ) e desenhe o vetor gradiente em :
Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é . Suponha que .
Determine o valor do campo elétrico em .
Um foguete é lançado verticalmente e é rastreado por uma estação de radar S que está a 4 milhas de distância do local de lançamento, na mesma altura em relação ao nível do mar. Num dado momento após o lançamento, R está a 5 milhas de S e a distância entre R e S aumenta a uma taxa de 3600 milhas por hora. Calcule a velocidade vertical v do foguete neste instante.