Se o potencial elétrico em um ponto (x, y) do plano x y é V(x, y) então o vetor campo elétrico no ponto (x, y) é E = -nabla V. Suponha que V(x, y) = e^(-2 x) cos(2 y).
Determine o valor do campo elétrico em (pi / 4, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa o potencial elétrico em um ponto do plano. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico nesse ponto específico . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente na física, que relaciona o potencial elétrico ao campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico é dado por:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior variação da função e tem componentes dadas pelas derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Em seguida, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do campo elétrico:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Agora, vamos avaliar no ponto . Substituindo e na expressão do campo elétrico:

Resposta

O campo elétrico no ponto é .

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