Se o potencial elétrico em um ponto
do plano
é
então o vetor campo elétrico no ponto
é
. Suponha que
.
Determine o valor do campo elétrico em
.
Determine o valor do campo elétrico em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa o potencial elétrico
em um ponto
do plano. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico
nesse ponto específico
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente na física, que relaciona o potencial elétrico ao campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
é dado por:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. O gradiente
é um vetor que aponta na direção de maior variação da função
e tem componentes dadas pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Em seguida, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do campo elétrico:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Agora, vamos avaliar
no ponto
. Substituindo
e
na expressão do campo elétrico:
Resposta
O campo elétrico no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Esboce a curva de nível de
passando pelo ponto
(i.e. a curva de nível
) e desenhe o vetor gradiente em
:
Se o potencial elétrico em um ponto
do plano
é
então o vetor campo elétrico no ponto
é
. Suponha que
.
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?
Um foguete
é lançado verticalmente e é rastreado por uma estação de radar S que está a 4 milhas de distância do local de lançamento, na mesma altura em relação ao nível do mar. Num dado momento após o lançamento, R está a 5 milhas de S e a distância entre R e S aumenta a uma taxa de 3600 milhas por hora. Calcule a velocidade vertical v do foguete neste instante.
Sejam
e
. Calcule F