Um foguete
é lançado verticalmente e é rastreado por uma estação de radar S que está a 4 milhas de distância do local de lançamento, na mesma altura em relação ao nível do mar. Num dado momento após o lançamento, R está a 5 milhas de S e a distância entre R e S aumenta a uma taxa de 3600 milhas por hora. Calcule a velocidade vertical v do foguete neste instante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um foguete que foi lançado verticalmente e está sendo monitorado por uma estação de radar que fica a 4 milhas de distância do local de lançamento. Nesse momento específico, o foguete está a 5 milhas da estação de radar, e a distância entre eles está aumentando a uma taxa de 3600 milhas por hora. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade vertical do foguete nesse instante. Vamos usar conceitos de taxas relacionadas e o teorema de Pitágoras para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- Um cateto representa a distância horizontal entre a estação de radar e o local de lançamento, que é 4 milhas.
- O outro cateto representa a altura vertical do foguete, que vamos chamar de
. - A hipotenusa é a distância entre o foguete e a estação de radar, que é 5 milhas.
Segundo o teorema de Pitágoras:
Passo 3
Vamos resolver para
:
Então, nesse instante, o foguete está a 3 milhas de altura.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a velocidade vertical do foguete, que é a taxa de variação de
em relação ao tempo, ou seja,
. Sabemos que a taxa de variação da distância entre o foguete e a estação de radar é de 3600 milhas por hora, que chamaremos de
mph.
Passo 5
Vamos diferenciar a equação do teorema de Pitágoras em relação ao tempo
:
Como 4 e 5 são constantes, suas derivadas são zero:
Isso não nos ajuda diretamente, então precisamos relacionar as taxas de variação de uma forma melhor.
Passo 6
Na verdade, precisamos relacionar
com
. Sabemos que:
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A velocidade vertical do foguete nesse instante é de 6000 milhas por hora.
Exercícios relacionados
Se o potencial elétrico em um ponto
do plano
é
então o vetor campo elétrico no ponto
é
. Suponha que
.
Determine o valor do campo elétrico em .
Determine o valor do campo elétrico em
Esboce a curva de nível de
passando pelo ponto
(i.e. a curva de nível
) e desenhe o vetor gradiente em
:
Sejam
e
. Calcule F
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução da E.D.O abaixo: