Um foguete é lançado verticalmente e é rastreado por uma estação de radar S que está a 4 milhas de distância do local de lançamento, na mesma altura em relação ao nível do mar. Num dado momento após o lançamento, R está a 5 milhas de S e a distância entre R e S aumenta a uma taxa de 3600 milhas por hora. Calcule a velocidade vertical v do foguete neste instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um foguete que foi lançado verticalmente e está sendo monitorado por uma estação de radar que fica a 4 milhas de distância do local de lançamento. Nesse momento específico, o foguete está a 5 milhas da estação de radar, e a distância entre eles está aumentando a uma taxa de 3600 milhas por hora. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade vertical do foguete nesse instante. Vamos usar conceitos de taxas relacionadas e o teorema de Pitágoras para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • Um cateto representa a distância horizontal entre a estação de radar e o local de lançamento, que é 4 milhas.
  • O outro cateto representa a altura vertical do foguete, que vamos chamar de .
  • A hipotenusa é a distância entre o foguete e a estação de radar, que é 5 milhas.
Segundo o teorema de Pitágoras:

Passo 3

Vamos resolver para :
Então, nesse instante, o foguete está a 3 milhas de altura.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a velocidade vertical do foguete, que é a taxa de variação de em relação ao tempo, ou seja, . Sabemos que a taxa de variação da distância entre o foguete e a estação de radar é de 3600 milhas por hora, que chamaremos de mph.

Passo 5

Vamos diferenciar a equação do teorema de Pitágoras em relação ao tempo :
Como 4 e 5 são constantes, suas derivadas são zero:
Isso não nos ajuda diretamente, então precisamos relacionar as taxas de variação de uma forma melhor.

Passo 6

Na verdade, precisamos relacionar com . Sabemos que:
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo:
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Substituindo os valores que temos:

Resposta

A velocidade vertical do foguete nesse instante é de 6000 milhas por hora.

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Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é . Suponha que .
Determine o valor do campo elétrico em .
Esboce a curva de nível de passando pelo ponto (i.e. a curva de nível ) e desenhe o vetor gradiente em :
Sejam e . Calcule F
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução da E.D.O abaixo: