Esboce a curva de nível z = k com os valores especificados de k.
z = x + y ; k = -2, -1, 0, 1, 2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a função e precisa esboçar as curvas de nível para diferentes valores de , que são . As curvas de nível são como “fatias” do gráfico da função onde o é constante. Aqui, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las usando a equação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Imagine que você tem um terreno com diferentes altitudes. Cada curva de nível representa pontos que estão na mesma altitude. No nosso caso, é como a altitude, e são os valores fixos dessa altitude. Então, para cada , vamos ter uma curva onde .

Passo 3

Agora, vamos substituir cada valor de na equação para encontrar a equação da curva de nível correspondente. Isso vai nos dar uma equação em termos de e que podemos desenhar no plano.

Passo 4

Vamos fazer isso para cada valor de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :

Passo 5

Cada uma dessas equações representa uma reta no plano . Vamos analisar o que cada uma delas significa:
  • A inclinação de todas essas retas é , ou seja, elas descem da esquerda para a direita.
  • O termo constante ( ) representa onde a reta cruza o eixo .

Passo 6

Para esboçar as curvas de nível, vamos desenhar cada uma dessas retas no mesmo gráfico, marcando seus pontos de interseção com os eixos e :
  1. Para :
    • Quando , .
    • Quando , .
  2. Para :
    • Quando , .
    • Quando , .
  3. Para :
    • Quando , .
    • Quando , .
  4. Para :
    • Quando , .
    • Quando , .
  5. Para :
    • Quando , .
    • Quando , .

Passo 7

Com esses pontos, podemos desenhar cada reta no gráfico:
  • Comece marcando os pontos de interseção com os eixos.
  • Desenhe uma linha reta passando por esses pontos para cada valor de .
  • Todas as retas serão paralelas entre si, já que têm a mesma inclinação.

Passo 8

Depois de desenhar todas as retas, você terá um conjunto de linhas paralelas no plano , cada uma correspondendo a um valor diferente de . Isso mostra como o valor de muda de acordo com as coordenadas e .

Resposta

As curvas de nível para os valores especificados de são retas no plano dadas por:
Essas retas são paralelas e representam as diferentes “altitudes” da função .

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