Esboce a curva de nível
com os valores especificados de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a função
e precisa esboçar as curvas de nível para diferentes valores de
, que são
. As curvas de nível são como “fatias” do gráfico da função onde o
é constante. Aqui, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las usando a equação
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Imagine que você tem um terreno com diferentes altitudes. Cada curva de nível representa pontos que estão na mesma altitude. No nosso caso,
é como a altitude, e
são os valores fixos dessa altitude. Então, para cada
, vamos ter uma curva onde
.
Passo 3
Agora, vamos substituir cada valor de
na equação
para encontrar a equação da curva de nível correspondente. Isso vai nos dar uma equação em termos de
e
que podemos desenhar no plano.
Passo 4
Vamos fazer isso para cada valor de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Cada uma dessas equações representa uma reta no plano
. Vamos analisar o que cada uma delas significa:
- A inclinação de todas essas retas é
, ou seja, elas descem da esquerda para a direita. - O termo constante (
) representa onde a reta cruza o eixo .
Passo 6
Para esboçar as curvas de nível, vamos desenhar cada uma dessas retas no mesmo gráfico, marcando seus pontos de interseção com os eixos
e
:
-
Para
: - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
-
Para
: - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
-
Para
: - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
-
Para
: - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
-
Para
: - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
Passo 7
Com esses pontos, podemos desenhar cada reta no gráfico:
- Comece marcando os pontos de interseção com os eixos.
- Desenhe uma linha reta passando por esses pontos para cada valor de
. - Todas as retas serão paralelas entre si, já que têm a mesma inclinação.
Passo 8
Depois de desenhar todas as retas, você terá um conjunto de linhas paralelas no plano
, cada uma correspondendo a um valor diferente de
. Isso mostra como o valor de
muda de acordo com as coordenadas
e
.
Resposta
As curvas de nível
para os valores especificados de
são retas no plano
dadas por:
Essas retas são paralelas e representam as diferentes “altitudes” da função
.