(*) Uma partícula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua velocidade no instante
é
.
(b) encontre a distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo
.
(b) encontre a distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula está se movendo ao longo de um eixo com uma velocidade dada pela função
metros por segundo. Nosso objetivo aqui é encontrar a distância total que essa partícula percorre no intervalo de tempo de
até
segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração da velocidade para encontrar a distância.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a distância total percorrida considera todos os caminhos, independente da direção. Isso significa que se a velocidade for negativa em algum intervalo, ainda contamos a distância positiva. Por isso, vamos identificar quando a velocidade
é positiva ou negativa no intervalo de tempo dado.
Passo 3
Vamos achar os instantes em que a velocidade muda de sinal, ou seja, quando
:
Então, a velocidade muda de sinal em
e
. Agora, vamos analisar os intervalos:
- De
a - De
a
Passo 4
Vamos verificar o sinal da velocidade em cada intervalo:
-
Para
entre 0 e 2: Escolha: -
Para
entre 2 e 3: Escolha:
Então, a velocidade é negativa de 0 a 2 segundos e positiva de 2 a 3 segundos.
Passo 5
A distância total é a soma das integrais do valor absoluto da velocidade em cada intervalo. Assim:
Como
é negativa de 0 a 2, o valor absoluto vai virar
:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então, a primeira integral vale
metros.
Segunda integral:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então, a segunda integral vale
metros.
Passo 7
Agora, somamos as duas integrais para obter a distância total:
Resposta
A distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo de
segundos é
metros.
Exercícios relacionados
Nos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro
. Em cada um desses problemas:
(a) Determine os autovalores em função de .
(b) Encontre o valor ou valores críticos de onde a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema muda.
© Desenhe retratos de fase para um valor de ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, de cada valor crítico.
(a) Determine os autovalores em função de
(b) Encontre o valor ou valores críticos de
© Desenhe retratos de fase para um valor de
Use a definição sobre áreas com limites de soma tomando
como extremo esquerdo de cada subintervalo para encontrar a área abaixo do gráfico de
e acima do intervalo
, com
e
.
Esboce a curva de nível
com os valores especificados de
.
Esboce a curva de nível
com os valores especificados de
.