(*) Uma partícula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua velocidade no instante t é v(t) = t^2 - 2 t m/s.
(b) encontre a distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo 0 <= t <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula está se movendo ao longo de um eixo com uma velocidade dada pela função metros por segundo. Nosso objetivo aqui é encontrar a distância total que essa partícula percorre no intervalo de tempo de até segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração da velocidade para encontrar a distância.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a distância total percorrida considera todos os caminhos, independente da direção. Isso significa que se a velocidade for negativa em algum intervalo, ainda contamos a distância positiva. Por isso, vamos identificar quando a velocidade é positiva ou negativa no intervalo de tempo dado.

Passo 3

Vamos achar os instantes em que a velocidade muda de sinal, ou seja, quando :
Então, a velocidade muda de sinal em e . Agora, vamos analisar os intervalos:
  1. De a
  2. De a

Passo 4

Vamos verificar o sinal da velocidade em cada intervalo:
  • Para entre 0 e 2:
    Escolha :
  • Para entre 2 e 3:
    Escolha :
Então, a velocidade é negativa de 0 a 2 segundos e positiva de 2 a 3 segundos.

Passo 5

A distância total é a soma das integrais do valor absoluto da velocidade em cada intervalo. Assim:
â
Como é negativa de 0 a 2, o valor absoluto vai virar :
â

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Calculando em :
Calculando em :
Então, a primeira integral vale metros.
Segunda integral:
Calculando em :
Calculando em :
Então, a segunda integral vale metros.

Passo 7

Agora, somamos as duas integrais para obter a distância total:
â

Resposta

A distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo de segundos é metros.

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Nos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro alpha. Em cada um desses problemas:
(a) Determine os autovalores em função de alpha.
(b) Encontre o valor ou valores críticos de alpha onde a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema muda.
© Desenhe retratos de fase para um valor de alpha ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, de cada valor crítico.
x' = (0 -5 1 alpha) x
Use a definição sobre áreas com limites de soma tomando x_k* como extremo esquerdo de cada subintervalo para encontrar a área abaixo do gráfico de y = m x e acima do intervalo [a, b], com m > 0 e a >= 0.
Esboce a curva de nível z = k com os valores especificados de k.
z = x + y ; k = -2, -1, 0, 1, 2
Esboce a curva de nível z = k com os valores especificados de k.
z = x^2 + y^2 ; k = 0, 1, 2, 3, 4