Esboce a curva polar de equação: r=-2 sen(theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar a curva polar da equação . Estamos trabalhando com coordenadas polares, que envolvem r (a distância do ponto à origem) e (o ângulo em relação ao eixo positivo x). Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma que a gente consiga desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na coordenadas polares, uma equação como representa um círculo. O valor de determina o tamanho do círculo, e o sinal de (positivo ou negativo) indica a posição. No nosso caso, temos , onde .

Passo 3

O sinal negativo em significa que, para cada ângulo , o ponto está na direção oposta do que normalmente seria. Então, ao invés de estar na direção de , o ponto estará na direção de .

Passo 4

Vamos agora converter a equação para as coordenadas cartesianas para facilitar o esboço. Sabemos que:
x = r cos(theta) e y = r sin(theta)
Substituindo y = (-2 sin(theta)) sin(theta) = -2 sin^2(theta) pela nossa equação:
y = -2 times 1 - cos(2theta)2 = -1 + cos(2theta)
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Isso é a equação de um círculo com raio 1 e centrado em (0, -1) no sistema cartesiano.

Passo 5

Agora que sabemos que a equação representa um círculo de raio 1 centrado no ponto (0, -1), podemos esboçar rapidamente o gráfico. O círculo estará abaixo do eixo x, com seu centro em y = -1 e tocando o eixo x.

Resposta

A curva polar de é um círculo de raio 1, centrado no ponto (0, -1) no sistema cartesiano.

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