Esboce a curva do
dada abaixo, e ache o vetor unitário tangente a ela no ponto em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para esboçarmos a curva no espaço tridimensional definida por
e encontrar o vetor unitário tangente a essa curva no ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, derivadas e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como esboçar a curva. A função
nos dá as coordenadas
,
e
. Isso significa que à medida que
varia,
e
seguem um movimento circular devido ao cosseno e seno, enquanto
aumenta linearmente. Portanto, a curva será uma hélice.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva. O vetor tangente é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Calculando a derivada, temos:
Passo 4
Precisamos avaliar esse vetor tangente no ponto onde
. Substituindo
por
na expressão de
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora, para obter o vetor unitário tangente, precisamos normalizar
. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude. Calculando a magnitude:
Então, o vetor unitário tangente é:
Resposta
O vetor unitário tangente à curva no ponto onde
é: