Esboce a curva do R^3 dada abaixo, e ache o vetor unitário tangente a ela no ponto em que t = pi / 2.
r(t) = cos(t) * i + t * j + sin(t) * k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para esboçarmos a curva no espaço tridimensional definida por e encontrar o vetor unitário tangente a essa curva no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, derivadas e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como esboçar a curva. A função nos dá as coordenadas , e . Isso significa que à medida que varia, e seguem um movimento circular devido ao cosseno e seno, enquanto aumenta linearmente. Portanto, a curva será uma hélice.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva. O vetor tangente é a derivada de em relação a , ou seja, . Calculando a derivada, temos:

Passo 4

Precisamos avaliar esse vetor tangente no ponto onde . Substituindo por na expressão de :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, para obter o vetor unitário tangente, precisamos normalizar . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude. Calculando a magnitude:
Então, o vetor unitário tangente é:

Resposta

O vetor unitário tangente à curva no ponto onde é:

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