Identifique a cônica, dando as coordenadas do seu centro, quando for o caso, e a quação de uma diretriz:
hati rho = 2 / (1 + (1 / 2) cos(theta))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que representa uma cônica em coordenadas polares:
Nosso objetivo é identificar que tipo de cônica é essa, encontrar as coordenadas do centro (se aplicável) e escrever a equação de uma diretriz. Para isso, vamos usar conceitos de cônicas em coordenadas polares, onde a equação geral é:
Aqui, é a excentricidade e é a distância da origem (foco) até a diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos comparar a equação dada com a forma geral das cônicas em coordenadas polares:
Vemos que:

Passo 3

Com , já sabemos que a excentricidade está entre 0 e 1 ( ), o que indica que a cônica é uma elipse.

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Sabemos que e . Então:

Passo 5

A diretriz de uma cônica em coordenadas polares está localizada a uma distância da origem. Como , a diretriz fica no lado oposto ao foco. Portanto, a equação da diretriz é uma linha reta paralela ao eixo polar (geralmente o eixo ) e está a uma distância da origem.
Em coordenadas cartesianas, se considerarmos o eixo polar como o eixo , a equação da diretriz será:

Resposta

A cônica é uma elipse com centro na origem. A equação de uma diretriz é:

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