Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando aumenta.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar a curva definida pelas equações paramétricas e , onde varia de a . Isso está relacionado ao estudo de equações paramétricas e curvas no plano cartesiano. Para resolver, vamos entender como essas funções descrevem uma curva e como podemos representar isso graficamente, além de indicar a direção em que a curva é traçada conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Em vez de ser uma função de , ambas e são expressas em função de um terceiro parâmetro, que neste caso é . Isso nos dá mais flexibilidade para descrever curvas mais complexas.

Passo 3

As equações que temos são e . Sabemos que e são funções trigonométricas que geram valores entre -1 e 1. Quando varia de a , essas funções percorrem todos os possíveis valores de e .

Passo 4

Vamos relacionar essas equações com a equação da circunferência. Sabemos que , o que é a equação de uma circunferência de raio 1 centrada na origem (0,0). Portanto, as equações paramétricas dadas descrevem uma circunferência.

Passo 5

Para esboçar a curva, vamos marcar alguns pontos específicos para valores de . Por exemplo:
  • Quando : , . Ponto (1, 0).
  • Quando : , . Ponto (0, 1).
  • Quando : , . Ponto (-1, 0).
  • Quando : , . Ponto (0, -1).
  • E finalmente, quando : voltamos ao ponto (1, 0).

Passo 6

Agora, vamos desenhar a circunferência com raio 1 centrada na origem e marcar esses pontos. Conectando-os suavemente, teremos a circunferência completa.

Passo 7

Para indicar a direção em que a curva é traçada quando aumenta, observamos como os pontos são conectados:
  • Começamos em (1, 0).
  • À medida que aumenta até , vamos para cima até (0, 1).
  • Continuamos até , indo para a esquerda até (-1, 0).
  • Seguimos para baixo até , chegando em (0, -1).
  • E finalmente voltamos para (1, 0) quando .
Isso mostra que a curva é percorrida no sentido anti-horário.

Resposta

A curva descrita pelas equações paramétricas e para é uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Ao desenhar, marcamos pontos como (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1) e retornamos a (1,0). A direção da curva é no sentido anti-horário conforme aumenta.

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Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando aumenta.
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Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando aumenta.
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