Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta.
cost
e
sent,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar a curva definida pelas equações paramétricas
e
, onde
varia de
a
. Isso está relacionado ao estudo de equações paramétricas e curvas no plano cartesiano. Para resolver, vamos entender como essas funções descrevem uma curva e como podemos representar isso graficamente, além de indicar a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Em vez de
ser uma função de
, ambas
e
são expressas em função de um terceiro parâmetro, que neste caso é
. Isso nos dá mais flexibilidade para descrever curvas mais complexas.
Passo 3
As equações que temos são
e
. Sabemos que
e
são funções trigonométricas que geram valores entre -1 e 1. Quando
varia de
a
, essas funções percorrem todos os possíveis valores de
e
.
Passo 4
Vamos relacionar essas equações com a equação da circunferência. Sabemos que
, o que é a equação de uma circunferência de raio 1 centrada na origem (0,0). Portanto, as equações paramétricas dadas descrevem uma circunferência.
Passo 5
Para esboçar a curva, vamos marcar alguns pontos específicos para valores de
. Por exemplo:
- Quando
: , . Ponto (1, 0). - Quando
: , . Ponto (0, 1). - Quando
: , . Ponto (-1, 0). - Quando
: , . Ponto (0, -1). - E finalmente, quando
: voltamos ao ponto (1, 0).
Passo 6
Agora, vamos desenhar a circunferência com raio 1 centrada na origem e marcar esses pontos. Conectando-os suavemente, teremos a circunferência completa.
Passo 7
Para indicar a direção em que a curva é traçada quando
aumenta, observamos como os pontos são conectados:
- Começamos em (1, 0).
- À medida que
aumenta até , vamos para cima até (0, 1). - Continuamos até
, indo para a esquerda até (-1, 0). - Seguimos para baixo até
, chegando em (0, -1). - E finalmente voltamos para (1, 0) quando
.
Isso mostra que a curva é percorrida no sentido anti-horário.
Resposta
A curva descrita pelas equações paramétricas
e
para
é uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Ao desenhar, marcamos pontos como (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1) e retornamos a (1,0). A direção da curva é no sentido anti-horário conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Determine uma equação polar do círculo
.
Converta o ponto
de coordenadas polares para cartesianas.
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta.
e
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta.
e