integral d x(x^2+a^2)^n=x2 a^2(n-1)(x^2+a^2)^n-1+2 n-32 a^2(n-1) integral d x(x^2+a^2)^n-1
[b] Use a parte [a] para calcular
integral d x(x^2+1)^2 e integral d x(x^2+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar uma fórmula de integração que ajuda a resolver integrais do tipo integral dx(x^2 + 1)^2 e integral dx(x^2 + 1)^3 . No caso, vamos aplicar essa fórmula para calcular:
Vamos precisar entender como aplicar a fórmula de redução que nos foi dada e utilizar conhecimentos de integrais básicas, como a integral de .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral integral dx(x^2 + a^2)^n = x2a^2 (n-1)(x^2 + a^2)^n-1 + 2n - 32a^2 (n-1) integral dx(x^2 + a^2)^n-1 . Aqui, temos integral dx(x^2 + 1)^2 = x2 cdot 1^2 (2-1)(x^2 + 1)^2-1 + 2 cdot 2 - 32 cdot 1^2 (2-1) integral dx(x^2 + 1)^2-1 e integral dx(x^2 + 1)^2 = x2 (x^2 + 1) + 12 integral dxx^2 + 1 . Vamos aplicar a fórmula de redução:
Substituindo e :
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral que ficou:
integral dxx^2 + 1
Essa é uma integral básica que todo mundo aprende. A integral de integral dxx^2 + 1 = tan^-1 x + C é , onde é a constante de integração.
Portanto:

Passo 4

Voltando à expressão que tínhamos:
integral dx(x^2 + 1)^2 = x2 (x^2 + 1) + 12 tan^-1 x + C
Esse é o resultado da primeira integral. Agora, vamos para a segunda integral: .

Passo 5

Para resolver integral dx(x^2 + 1)^3 = x2 cdot 1^2 (3-1)(x^2 + 1)^3-1 + 2 cdot 3 - 32 cdot 1^2 (3-1) integral dx(x^2 + 1)^3-1 , vamos novamente usar a fórmula de redução. Desta vez, integral dx(x^2 + 1)^3 = x4 (x^2 + 1)^2 + 34 integral dx(x^2 + 1)^2 e .
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 6

Observamos que agora temos uma integral que já resolvemos anteriormente: integral dx(x^2 + 1)^2 = x2 (x^2 + 1) + 12 tan^-1 x + C . Sabemos que:
integral dx(x^2 + 1)^3 = x4 (x^2 + 1)^2 + 34 ( x2 (x^2 + 1) + 12 tan^-1 x ) + C
Substituindo esse resultado na expressão anterior:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
integral dx(x^2 + 1)^3 = x4 (x^2 + 1)^2 + 3x8 (x^2 + 1) + 38 tan^-1 x + C
Podemos combinar os termos com integral dx(x^2 + 1)^3 = ( 2x8 (x^2 + 1)^2 + 3x8 (x^2 + 1) ) + 38 tan^-1 x + C :
integral dx(x^2 + 1)^3 = x(2 + (x^2 + 1))8 (x^2 + 1)^2 + 38 tan^-1 x + C
Simplificando ainda mais:
= x(x^2 + 3)8 (x^2 + 1)^2 + 38 tan^-1 x + C

Resposta

Portanto, as integrais são:
integral dx(x^2 + 1)^2 = x2 (x^2 + 1) + 12 tan^-1 x + C
e
integral dx(x^2 + 1)^3 = x(x^2 + 3)8 (x^2 + 1)^2 + 38 tan^-1 x + C
onde representa a constante de integração.

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