é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem a integral definida de 2 até o infinito de
e precisamos descobrir se essa integral é divergente, ou seja, se ela não converge para um número finito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente relacionados a integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser divergente. Uma integral imprópria, como essa que vai até o infinito, pode ou não ter um valor finito. Se o limite da integral quando
tende ao infinito é infinito ou não existe, dizemos que a integral é divergente. Vamos calcular esse limite para ver o que acontece.
Passo 3
Vamos reescrever a integral de forma que possamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Agora, vamos resolver a integral indefinida
.
Passo 4
Para resolver
, vamos fazer uma substituição. Vamos definir
, então
e
. Substituindo na integral:
Vamos simplificar a fração
:
Então, a integral fica:
Voltando para
, já que
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 2 a
e calcular o limite quando
tende ao infinito:
À medida que
cresce,
também cresce sem limite, e
também tende ao infinito, embora mais lentamente. Portanto, o termo dominante é
, que vai para o infinito.
Passo 6
Como o limite da integral quando
tende ao infinito é infinito, concluímos que a integral é divergente. Isso significa que ela não converge para um valor finito.
Resposta
A integral
é divergente.
Exercícios relacionados
[b] Use a parte [a] para calcular
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.