integral2^infty 1raizx-1 d x
é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem a integral definida de 2 até o infinito de e precisamos descobrir se essa integral é divergente, ou seja, se ela não converge para um número finito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente relacionados a integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser divergente. Uma integral imprópria, como essa que vai até o infinito, pode ou não ter um valor finito. Se o limite da integral quando tende ao infinito é infinito ou não existe, dizemos que a integral é divergente. Vamos calcular esse limite para ver o que acontece.

Passo 3

Vamos reescrever a integral de forma que possamos calcular o limite quando integral2^infty 1raizx - 1 , dx = limb to infty integral2^b 1raizx - 1 , dx tende ao infinito:
Agora, vamos resolver a integral indefinida .

Passo 4

Para resolver integral 1t - 1 cdot 2t , dt = 2 integral tt - 1 , dt , vamos fazer uma substituição. Vamos definir tt - 1 = 1 + 1t - 1 , então 2 integral (1 + 1t - 1) , dt = 2 ( t + ln|t - 1| ) + C e 2 ( raizx + ln|raizx - 1| ) + C . Substituindo na integral:
Vamos simplificar a fração :
Então, a integral fica:
Voltando para , já que :

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 2 a limb to infty [ 2 ( raizb + ln|raizb - 1| ) - 2 ( raiz2 + ln|raiz2 - 1| ) ] e calcular o limite quando tende ao infinito:
À medida que cresce, também cresce sem limite, e também tende ao infinito, embora mais lentamente. Portanto, o termo dominante é , que vai para o infinito.

Passo 6

Como o limite da integral quando tende ao infinito é infinito, concluímos que a integral é divergente. Isso significa que ela não converge para um valor finito.

Resposta

A integral é divergente.

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