Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de funções vetoriais! A questão pede para esboçar as curvas definidas pela função vetorial
. Vamos usar conceitos de geometria analítica e funções paramétricas. Para isso, vamos precisar entender como transformar essa função vetorial em uma curva no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial. A função
tem duas partes:
- A primeira parte é
, que nos dá a coordenada x em termos de t. - A segunda parte é
, que nos dá a coordenada y em termos de t.
Passo 3
Agora, queremos relacionar
e
diretamente, eliminando o parâmetro
. Para isso, vamos resolver a primeira equação
para
:
Passo 4
Com
, substituímos na segunda equação
:
Isso nos dá a equação da curva em termos de
e
.
Passo 5
A equação
representa uma parábola. Sabemos que uma parábola nessa forma abre para cima e tem o vértice em
.
Passo 6
Para esboçar a curva, vamos identificar alguns pontos:
-
Quando
: Ponto: -
Quando
: Ponto: -
Quando
: Ponto:
Plotando esses pontos e sabendo que a parábola abre para cima, podemos desenhar o esboço da curva.
Resposta
A curva definida pela função vetorial
é uma parábola com vértice em
e abre para cima.
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é divergente.
[b] Use a parte [a] para calcular
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.