Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais. r(t) = (t - 1, t^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de funções vetoriais! A questão pede para esboçar as curvas definidas pela função vetorial . Vamos usar conceitos de geometria analítica e funções paramétricas. Para isso, vamos precisar entender como transformar essa função vetorial em uma curva no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial. A função tem duas partes:
  • A primeira parte é , que nos dá a coordenada x em termos de t.
  • A segunda parte é , que nos dá a coordenada y em termos de t.

Passo 3

Agora, queremos relacionar e diretamente, eliminando o parâmetro . Para isso, vamos resolver a primeira equação para :

Passo 4

Com , substituímos na segunda equação :
Isso nos dá a equação da curva em termos de e .

Passo 5

A equação representa uma parábola. Sabemos que uma parábola nessa forma abre para cima e tem o vértice em .

Passo 6

Para esboçar a curva, vamos identificar alguns pontos:
  • Quando :
    Ponto:
  • Quando :
    Ponto:
  • Quando :
    Ponto:
Plotando esses pontos e sabendo que a parábola abre para cima, podemos desenhar o esboço da curva.

Resposta

A curva definida pela função vetorial é uma parábola com vértice em e abre para cima.

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