Esboce as curvas de nivel de para e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar as curvas de nível da função para os valores de e . Para isso, vamos usar o conceito de curvas de nível, que são as curvas onde a função assume um valor constante . Vamos precisar manipular a equação da função para encontrar a forma das curvas para cada valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva de nível. Para a nossa função , uma curva de nível é definida por . Então, substituindo a função na equação, temos:

Passo 3

Para simplificar essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada. Podemos fazer isso elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar os termos e :
Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio onde .

Passo 5

Vamos analisar quais valores de são poss��veis. Para que seja um número real positivo, precisamos que:
Portanto, os valores de e são válidos, pois todos são menores ou iguais a 7.

Passo 6

Vamos calcular o raio para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Com os raios calculados, podemos esboçar as curvas de nível:
  • Para : Um círculo de raio 7.
  • Para : Um círculo de raio aproximadamente 6.928.
  • Para : Um círculo de raio aproximadamente 5.744.
  • Para : Um círculo de raio aproximadamente 4.899.
Cada um desses círculos está centrado na origem do sistema de coordenadas .

Resposta

As curvas de nível de são círculos centrados na origem com raios . Especificamente:
  • Para : Círculo de raio 7.
  • Para : Círculo de raio aproximadamente 6.928.
  • Para : Círculo de raio aproximadamente 5.744.
  • Para : Círculo de raio aproximadamente 4.899.

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Esboce as curvas de nível de para e .
Esboce as curvas de nivel de para e .
Utilize coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado superiormente pelo hemisfério ( esfera) e inferiormente pela região circular dada pela interseção do cilindro círcular com o plano , isto é, u.v.