Esboce as curvas de nivel de
para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar as curvas de nível da função
para os valores de
e
. Para isso, vamos usar o conceito de curvas de nível, que são as curvas onde a função assume um valor constante
. Vamos precisar manipular a equação da função para encontrar a forma das curvas para cada valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva de nível. Para a nossa função
, uma curva de nível é definida por
. Então, substituindo a função na equação, temos:
Passo 3
Para simplificar essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada. Podemos fazer isso elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Agora, vamos rearranjar a equação para isolar os termos
e
:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio
onde
.
Passo 5
Vamos analisar quais valores de
são poss��veis. Para que
seja um número real positivo, precisamos que:
Portanto, os valores de
e
são válidos, pois todos são menores ou iguais a 7.
Passo 6
Vamos calcular o raio
para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Com os raios calculados, podemos esboçar as curvas de nível:
- Para
: Um círculo de raio 7. - Para
: Um círculo de raio aproximadamente 6.928. - Para
: Um círculo de raio aproximadamente 5.744. - Para
: Um círculo de raio aproximadamente 4.899.
Cada um desses círculos está centrado na origem do sistema de coordenadas
.
Resposta
As curvas de nível de
são círculos centrados na origem com raios
. Especificamente:
- Para
: Círculo de raio 7. - Para
: Círculo de raio aproximadamente 6.928. - Para
: Círculo de raio aproximadamente 5.744. - Para
: Círculo de raio aproximadamente 4.899.
Exercícios relacionados
Seja E o sólido limitado por dois planos
lateralmente pelo cone
. Expresse o volume de E como a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Após, expresse esse mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas esféricas. Não é necessário calcular as integrais, apenas deixe indicado cada uma delas.
Esboce as curvas de nível de
para
e
.
Esboce as curvas de nivel de
para
e
.
Utilize coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado superiormente pelo hemisfério
(
esfera) e inferiormente pela região circular dada pela interseção do cilindro círcular com o plano
, isto é,
u.v.