Seja E o sólido limitado por dois planos lateralmente pelo cone . Expresse o volume de E como a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Após, expresse esse mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas esféricas. Não é necessário calcular as integrais, apenas deixe indicado cada uma delas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sólido E que é limitado por dois planos, e , e de lado, pelo cone . Nosso objetivo é expressar o volume desse sólido usando integrais triplas em coordenadas cilíndricas e depois em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para essas coordenadas e definir os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos usar as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, representamos os pontos por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A equação do cone em coordenadas cilíndricas fica . Os planos e permanecem iguais.
Para encontrar os limites de integração:
  • varia de 1 a 2,
  • Para cada , varia de 0 até (já que ),
  • varia de 0 a para cobrir toda a volta.
Então, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:

Passo 3

Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, representamos os pontos por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem,
  • é o ângulo polar (desde o eixo positivo ),
  • é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas.
A equação do cone em coordenadas esféricas fica (já que implica ).
Para os planos e , precisamos relacionar e :
  • Quando , ,
  • Quando , .
Assim, os limites de integração são:
  • varia de 0 a ,
  • Para cada , varia de a ,
  • varia de 0 a .
A integral tripla em coordenadas esféricas fica:

Resposta

O volume do sólido E pode ser expresso pelas seguintes integrais triplas:
Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas esféricas:

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