Seja E o sólido limitado por dois planos
lateralmente pelo cone
. Expresse o volume de E como a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Após, expresse esse mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas esféricas. Não é necessário calcular as integrais, apenas deixe indicado cada uma delas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sólido E que é limitado por dois planos,
e
, e de lado, pelo cone
. Nosso objetivo é expressar o volume desse sólido usando integrais triplas em coordenadas cilíndricas e depois em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para essas coordenadas e definir os limites de integração adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos usar as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, representamos os pontos por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A equação do cone
em coordenadas cilíndricas fica
. Os planos
e
permanecem iguais.
Para encontrar os limites de integração:
-
varia de 1 a 2, - Para cada
, varia de 0 até (já que ), -
varia de 0 a para cobrir toda a volta.
Então, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 3
Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, representamos os pontos por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem, -
é o ângulo polar (desde o eixo positivo ), -
é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas.
A equação do cone
em coordenadas esféricas fica
(já que
implica
).
Para os planos
e
, precisamos relacionar
e
:
- Quando
, , - Quando
, .
Assim, os limites de integração são:
-
varia de 0 a , - Para cada
, varia de a , -
varia de 0 a .
A integral tripla em coordenadas esféricas fica:
Resposta
O volume do sólido E pode ser expresso pelas seguintes integrais triplas:
Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas esféricas:
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para
e
.
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