Esboce as curvas de nivel de
para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível da função
para os valores de
e
. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente no estudo de gráficos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são as linhas no plano
onde a função
assume um valor constante
. Ou seja, para cada valor de
, a curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos encontrar a equação das curvas de nível para cada valor de
. Então, começamos igualando a função a
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
em termos de
:
Isso mostra que, para cada valor de
, a curva de nível é uma parábola com concavidade para cima, deslocada verticalmente de acordo com o valor de
.
Passo 5
Vamos agora esboçar cada uma dessas parábolas para os valores de
dados:
-
Para
: Essa parábola está deslocada 2 unidades para baixo. -
Para
: Essa é a parábola básica, sem deslocamento vertical. -
Para
: Aqui, a parábola está deslocada 2 unidades para cima. -
Para
: Essa está deslocada 4 unidades para cima.
Resposta
As curvas de nível de
são parábolas da forma
. Para os valores dados:
-
: parábola deslocada 2 unidades para baixo. -
: parábola básica sem deslocamento. -
: parábola deslocada 2 unidades para cima. -
: parábola deslocada 4 unidades para cima.
Esses deslocamentos mostram como a curva de nível se move verticalmente no plano conforme o valor de
aumenta ou diminui.
Exercícios relacionados
Esboce as curvas de nivel de
para
e
.
Seja E o sólido limitado por dois planos
lateralmente pelo cone
. Expresse o volume de E como a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Após, expresse esse mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas esféricas. Não é necessário calcular as integrais, apenas deixe indicado cada uma delas.
Utilize coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado superiormente pelo hemisfério
(
esfera) e inferiormente pela região circular dada pela interseção do cilindro círcular com o plano
, isto é,
u.v.
Determine as equações em coordenadas cilíndricas para as superfícies dadas por:
a)
b)
a)
b)