Esboce as curvas de nivel de para e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível da função para os valores de e . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente no estudo de gráficos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são as linhas no plano onde a função assume um valor constante . Ou seja, para cada valor de , a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Queremos encontrar a equação das curvas de nível para cada valor de . Então, começamos igualando a função a :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para em termos de :
Isso mostra que, para cada valor de , a curva de nível é uma parábola com concavidade para cima, deslocada verticalmente de acordo com o valor de .

Passo 5

Vamos agora esboçar cada uma dessas parábolas para os valores de dados:
  • Para :
    Essa parábola está deslocada 2 unidades para baixo.
  • Para :
    Essa é a parábola básica, sem deslocamento vertical.
  • Para :
    Aqui, a parábola está deslocada 2 unidades para cima.
  • Para :
    Essa está deslocada 4 unidades para cima.

Resposta

As curvas de nível de são parábolas da forma . Para os valores dados:
  • : parábola deslocada 2 unidades para baixo.
  • : parábola básica sem deslocamento.
  • : parábola deslocada 2 unidades para cima.
  • : parábola deslocada 4 unidades para cima.
Esses deslocamentos mostram como a curva de nível se move verticalmente no plano conforme o valor de aumenta ou diminui.

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Seja E o sólido limitado por dois planos lateralmente pelo cone . Expresse o volume de E como a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Após, expresse esse mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas esféricas. Não é necessário calcular as integrais, apenas deixe indicado cada uma delas.
Utilize coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado superiormente pelo hemisfério ( esfera) e inferiormente pela região circular dada pela interseção do cilindro círcular com o plano , isto é, u.v.
Determine as equações em coordenadas cilíndricas para as superfícies dadas por:
a)
b)